数学問題bot16

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数学問題bot16

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の16番の問題です。

 

 

思考

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=e\)(\(e^x\) のテイラー展開の\(x=1\))を利用する、できるように変形する。

 

計算

 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n^4-5n^3+9n^2-4n}{n!}\)

 

思考で考えたようにテイラー展開を使うため、次のように変形。

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)+n(n-1)(n-2)+n(n-1)+n}{n!}\)

 

それぞれ分割します。

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n}{n!}\)

 

ここで第一項の

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}\)  を考えると、\(n=1 , 2 , 3\)の時は0なので

 

\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}\)\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-4)!}\)

 

(nが4以降なので分母が0にならないから割れる。)

 同様にすると

 

\(=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n(n-1)}{n!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{n}{n!}\)

 

\(=\displaystyle\sum_{n=4}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-4)!}+\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-3)!}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-2)!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\)

 

初項はずれるが、分母もずれているので次のように書き換えられる。

 

\(=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=4e\)

 

最後の変形で、\(e^x\) でのテイラー展開で\(x=1\) を代入した式 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}=e\) を利用した。

 

テイラー展開の式については以下。

 

テイラー展開とマクローリン展開及びその応用について

 

 

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