数学問題bot17

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数学問題bot17

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の17番の問題です。

 

 

前提条件

 

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\)   及び   \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{ax}\times a=a\)

 

※これらは、\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\)を利用して導出できる。

 

計算

全体

まず、シグマの部分がそのままではアイデアが出てきにくいので具体的に展開。

 

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\log\biggl(\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}e^{kx}\biggr)=\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{x}\log\biggl(\displaystyle\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}+\cdots+e^{nx}}{n}\biggr)\)

 

ここから、前提条件を使っていきます。(使えるように変形)

 

 \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\) を使えるように変形します。

 

\(\displaystyle\frac{e^x+e^{2x}+e^{3x}+\cdots+e^{nx}}{n}=1+\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\displaystyle\frac{e^{2x}-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)\)

 

といった変形をします。(\(1+x\)の形を作った。)

 

 

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log\biggl(1+\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}\cdot\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{x}\)

 

前半

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\log(1+x)}{x}=1\)  を使う。

 

※ \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)=0\)

 

後半

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{e^{ax}-1}{x}=a\) を使う。

 

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{n}\biggr)}{x}=\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\lim_{x\to 0}\biggl(\displaystyle\frac{e^x-1}{x}+\displaystyle\frac{e^{2x}-1}{x}\cdots+\displaystyle\frac{e^{nx}-1}{x}\biggr)\)

 

\(= \displaystyle\frac{1+2+3+\cdots +n}{n}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n}=\displaystyle\frac{n+1}{2}\)

 

答え 

それぞれ極限が収束するので極限の積が答えとなる。

 

\(1\times \displaystyle\frac{1+2+3+\cdots+n}{n}=\)\(\displaystyle\frac{n+1}{2}\)

 

 

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