数学問題bot18

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数学問題bot18

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の18番の問題です。

 

 

思考

分母が因数分解できるので、とりあえず因数分解する。

あとは計算していきます。

 

計算

思考に書いたようにまずは分母を因数分解します。

 

\(\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^5-5k^3+4k}=\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}\)

 

ここから変形するのですが、類題を解いたことがないと厳しいかもしれません。時々出てくる変形です。

 

\(=\displaystyle\sum_{k=3}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{(k-2)(k-1)k(k+1)}-\displaystyle\frac{1}{(k-1)k(k+1)(k+2)}\biggr)\)

これを計算すると途中が相殺されて次のように変形できる。

 

\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1\times 2\times 3\times 4}-\displaystyle\frac{1}{(n-1)n(n+1)(n+2)}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{96}\)

 

答え

 \(\displaystyle\frac{1}{96}\)

 

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