数学問題bot2

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問題

https://twitter.com/mathbot77 の2番の問題です。

 

 

 

思考

類題を解いたことがあれば簡単な問題ですが、初見だと見当もつかないかもしれません。この手の類題は分数形に限りません。

無限に続く部分からうまく同じ形のものを取り出して置き換えます。

 

計算

\(1+\displaystyle\frac{3}{2+\displaystyle\frac{3}{2+\frac{3}{2+\cdots}}}\) の値を求めたいのですが、これ自身を\(x\) とおきます。

 

\(x=1+\displaystyle\frac{3}{2+\displaystyle\frac{3}{2+\frac{3}{2+\cdots}}}\)

 

\(=1+\displaystyle\frac{3}{1+1+\displaystyle\frac{3}{2+\frac{3}{2+\cdots}}}\)

 

こう考えると、第二項の分母の中の第二項と第三項の和が\(x\) そのものです。

つまり、これを\(=x\) と置けます。(というよりはこう置くために少し変な変形をした)

式で書くと以下の通りになります。

 

\(x=1+\displaystyle\frac{3}{1+x}\)

 

よって答えは \(x^2-1=3\) を解く。答えは問題より明らかに正なので\( x=2 \) となる。

 

答え

\( x=2 \) 

 

 

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