数学問題bot20

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数学問題bot20

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の20番の問題です。

 

 

 

計算

\(a_{n+4}+5a_{n+2}+6a_{n}=0\)  を二通りに変形します。

 

\(a_{n+4}+3a_{n+2}=-2(a_{n+2}+3a_{n})\)

\(a_{n+4}+2a_{n+2}=-3(a_{n+2}+2a_{n})\)

 

場合分けする

 

\(n\)が奇数

 

\(a_{n+2}+3a_{n}=(a_{3}+3a_{1})(-2)^{\frac{n-1}{2}}=(-4)(-2)^{\frac{n-1}{2}}\)

\(a_{n+2}+2a_{n}=(a_{3}+2a_{1})(-3)^{\frac{n-1}{2}}=(-3)(-3)^{\frac{n-1}{2}}\)

 

引き算すると

\(a_{n}=-(-2)^{\frac{n+3}{2}}-(-3)^{\frac{n+1}{2}}\)

 

 

\(n\)が偶数

 

\(a_{n+2}+3a_{n}=(a_{4}+3a_{2})(-2)^{\frac{n-2}{2}}=(4)(-2)^{\frac{n-2}{2}}\)

\(a_{n+2}+2a_{n}=(a_{4}+2a_{2})(-3)^{\frac{n-2}{2}}=(3)(-3)^{\frac{n-2}{2}}\)

 

引き算すると

\(a_{n}=(-2)^{\frac{n+2}{2}}+(-3)^{\frac{n}{2}}\)

 

 

 

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