数学問題bot21

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問題

https://twitter.com/mathbot77  の21番の問題です。

 

 

思考 

等比の形を作るために少し強引に変形します。

\(f(n+1)=mf(n)\) という形にすることで解けるためです。

まず、変形した形を未知数を置きつつ仮定する。※未知数の文字は何でも大丈夫です。

 

 

計算

\(a_{n+2}+k a_{n+1}+a(n+1)+b=m(a_{n+1}+k a_{n}+an+b)\) ……①

 

変形すると

\(a_{n+2}+(k-m)a_{n+1}-mk a_{n}=(ma-a)n+mb-a-b\)

 

これと問題の式を見比べると、以下の4式が出てくる。

 

\(k-m=3\)

\(km=-2\)

\(ma-a=6\)

\(mb-a-b=11\)

 

上の二式\(k=m+3\)を下に代入して二次方程式を解き \((k , m)=(2 , -1) , (1 , -2)\) を得る。

 

\(k=2 , m=-1\)  のとき   \(a=-3 , b=-4\)

\(k=1 , m=-2\)  のとき   \(a=-2 , b=-3\)

これらの結果を①に代入します。

 

\(a_{n+2}+2 a_{n+1}-3(n+1)-4=-(a_{n+1}+2 a_{n}-3n-4)\)

\(a_{n+2}+a_{n+1}-2(n+1)-3=-2(a_{n+1}+a_{n}-2n-3)\)

 

これらはそれぞれ括弧の中が\(n\)が1だけずれた式となっています。等比数列と考えることが出来て、以下のようになる。

 

\(a_{n+1}+2a_{n}-3n-4=(-1)^{n-1}(a_{2}+2a_{1}-3-4)=4(-1)^n\)

\(a_{n+1}+a_{n}-2n-3=(-2)^{n-1}(a_{2}+a_{1}-2-3)=-3(-2)^{n}\)

 

引き算すると \(a_{n}=4(-1)^n+3(-2)^{n-1}+n+1\) となる。

 

答え

 \(a_{n}=4(-1)^n+3(-2)^{n-1}+n+1\) 

 

 

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