数学問題bot22

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問題

https://twitter.com/probabilitybot  の22番の問題です。

 

 

思考

\(n\)回の試行に関する確率なので漸化式を用います。

対称性も利用します。この問題は方針自体は立てやすいと思われます。

 

 

計算

n回の試行後、A , B , C , D にいる確率を\(a_{n}\)、\(b_{n}\)、\(c_{n}\)、\(d_{n}\)とおく。

対称性より\(b_{n}=d_{n}\)

 

漸化式立式します。

 

① \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{4}{5}b_{n}+\displaystyle\frac{1}{5}c_{n}\)

 

② \(b_{n+1}=\displaystyle\frac{2}{5}a_{n}+\displaystyle\frac{1}{5}b_{n}+\displaystyle\frac{2}{5}c_{n}\)

 

③ \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{4}{5}b_{n}+\displaystyle\frac{1}{5}a_{n}\)

 

また、

\(a_{1}=0\)、\(b_{1}=\displaystyle\frac{2}{5}\)、\(c_{1}=\displaystyle\frac{1}{5}\)

 

①-③を計算すると、

\(a_{n+1}-c_{n+1}=-\displaystyle\frac{1}{5}(a_{n}-c_{n})\)

 

よって

\(a_{n}-c_{n}=\biggl(\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n\) ……④

 

 

①から、\(b_{n}=\displaystyle\frac{5}{4}\biggl(a_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{5}c_{n}\biggr)\)

これを②の \(b_{n+1}\) と\(b_{n}\) に代入する。

 

\(\displaystyle\frac{5}{4}a_{n+2}-\displaystyle\frac{1}{4}c_{n+1}=\displaystyle\frac{2}{5}a_{n}+\displaystyle\frac{2}{5}c_{n}+\displaystyle\frac{1}{4}a_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{20}c_{n}\)

 

④を使って\(c_{n}\) を消去すると(\(a_{n}\)を求めたいから)

 

\(\displaystyle\frac{5}{4}a_{n+2}-\displaystyle\frac{1}{2}a_{n+1}-\displaystyle\frac{3}{4}a_{n}=-\displaystyle\frac{3}{10}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n\)

 

\(a_{n+2}-\displaystyle\frac{2}{5}a_{n+1}-\displaystyle\frac{3}{5}a_{n}=-\displaystyle\frac{6}{25}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n\)

 

となる。これを二通りに式変形する。

 

⑤ \(a_{n+2}-a_{n+1}=-\displaystyle\frac{3}{5}(a_{n+1}-a_{n})-\displaystyle\frac{6}{25}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n\)

 

⑥ \(a_{n+2}+\displaystyle\frac{3}{5}a_{n+1}=(a_{n+1}+\displaystyle\frac{3}{5}a_{n})-\displaystyle\frac{6}{25}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n\)

 

⑤に関して。

\(a_{n+1}-a_{n}=b_{n}\) とおき、両辺に\((-5)^{n+1}\)をかける。

 

\((-5)^{n+1}b_{n+1}=3(-5)^{n}b_{n}+\displaystyle\frac{6}{5}\)

 

\((-5)^{n}b_{n}=c_{n}\) とおく。

 

\(c_{n+1}+\displaystyle\frac{3}{5}=3\biggl(c_{n}+\displaystyle\frac{3}{5}\biggr)\)

 

\(c_{1}=-5b_{1}=-5(a_{2}-a_{1})=-\displaystyle\frac{9}{5}\) より

 

\(c_{n}=-\displaystyle\frac{3}{5}-\displaystyle\frac{2}{5}\times 3^n\)

 

\((-5)^{n}b_{n}=c_{n}\)より

 

\(b_{n}=-\displaystyle\frac{3}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n-\displaystyle\frac{2}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{3}{5}\biggr)^n\)

 

 よって

 

\(a_{n+1}-a_{n}=-\displaystyle\frac{3}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n-\displaystyle\frac{2}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{3}{5}\biggr)^n\) ……⑦

 

⑥も同様に計算していく。

 

\(d_{n}=a_{n+1}+\displaystyle\frac{3}{5}a_{n}\) とおく。

 

\((-5)^{n+1}d_{n+1}=(-5)(-5)^{n}d_{n}+\displaystyle\frac{6}{5}\)

 

\((-5)^{n}d_{n}=e_{n}\) とおく。

 

\(e_{n+1}=-5e_{n}+\displaystyle\frac{6}{5}\)

 

\(e_{n}=\displaystyle\frac{1}{5}-2(-5)^{n-1}\)

 

戻すと

 

\(d_{n}=-\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^{n+1}+\displaystyle\frac{2}{5}\)

 

よって

 

\(a_{n+1}+\displaystyle\frac{3}{5}a_{n}=-\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^{n+1}+\displaystyle\frac{2}{5}\) ……⑧

 

 

 ⑦-⑧より

 

\(\displaystyle\frac{8}{5}a_{n}=\displaystyle\frac{2}{5}+\displaystyle\frac{4}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n+\displaystyle\frac{2}{5}\biggl(-\displaystyle\frac{3}{5}\biggr)^n\)

 

答え

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(-\displaystyle\frac{1}{5}\biggr)^n+\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(-\displaystyle\frac{3}{5}\biggr)^n\)

 

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