数学問題bot26

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問題

https://twitter.com/mathbot77 の26番の問題です。

 

思考

\(8\theta\)とかが明らかに扱いにくい。和積公式を利用します。

和積公式の適用も、うまくくくれるようなペアにします。

 

解答

今回使う和積公式は以下。

\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{2}\)

 

\(5\theta\)でくくれるようにするため、\((\sin 2\theta+\sin 8\theta)\)及び\((\sin 4\theta+\sin 6\theta)\)の組で計算します。

 

式変形

\(\sin 2\theta+\sin 8\theta+\sin 4\theta+\sin 6\theta\)

 

\(=2\sin 5\theta\cos 3\theta+2\sin 5\theta\cos\theta\)   ※\(\cos(-\theta)=\cos\theta\)

 

\(=2\sin 5\theta(\cos 3\theta+\cos\theta)\)

 

\(=2\sin 5\theta(4\cos^3 \theta-3\cos\theta+\cos\theta)\)    ※三倍角公式利用

 

\(=2\sin 5\theta(4\cos^3 \theta-2\cos\theta)\)

 

\(=4\sin 5\theta\cos\theta(2\cos^2 \theta-1)=0\)

 

この方程式を解く。積が0なので、構成要素のどれかが0。以下で場合分け。

 

\(\sin 5\theta=0\)

今、\(0\leq\theta<\pi\)つまり、\(0\leq 5\theta<5\pi\)

 

よって、\(5\theta=0 , \pi ,  2\pi , 3\pi , 4\pi\)

 

\(\theta=0 , \displaystyle\frac{\pi}{5} , \displaystyle\frac{2}{5}\pi ,  \displaystyle\frac{3}{5}\pi ,  \displaystyle\frac{4}{5}\pi \)

 

\(\cos\theta=0\)

\(0\leq\theta<\pi\)の範囲では、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

\(2\cos^2 \theta-1=0\)

このときは

\(\cos\theta=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}\)

 

\(0\leq\theta<\pi\)の範囲では、\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{3}{4}\pi\)

 

 

答え

以上をまとめると答えは

\(\theta=0 , \displaystyle\frac{\pi}{5} , \displaystyle\frac{\pi}{4} , \displaystyle\frac{2}{5}\pi , \displaystyle\frac{\pi}{2} , \displaystyle\frac{3}{5}\pi ,\displaystyle\frac{3}{4}\pi , \displaystyle\frac{4}{5}\pi\)

 

 

 

 

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