数学問題bot27

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問題

https://twitter.com/mathbot77 の27番の問題です。

 

 

実数の範囲だと \(-1\leq\cos x\leq 1\) だが、複素数では\(\cos z\geq 1\)となり得る。

 

計算1

オイラー公式から

\(e^{iz}=\cos z+i\sin z\)

\(e^{-iz}=\cos z-i\sin z\)

 

辺々足すと \(\cos z=\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\) となるのでこれを問題の式に代入して解く。

 

\(\displaystyle\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=2\) を整理すると

 

\((e^{iz})^2-4e^{iz}+1=0\)

 

\(e^{iz}=2\mp\sqrt 3\) (後の計算の都合上、符号を逆にした。)

 

よって \(iz=\log(2\mp\sqrt 3)+2n\pi i\) (\(n\)は整数)

 

\(z=-i\log(2\mp\sqrt 3)+2n\pi=\)\(i\log(2\pm\sqrt 3)+2n\pi\)

 

計算2

\(z=x+yi\)とおく。

\(\cos z=\cos x\cos iy-\sin x\sin iy=\cos x\cos hy-i\sin x\sin hy=2\)

 

なお、以下の変形を使った。

\(\cos iy=\displaystyle\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}=\cos hy\)

\(\sin iy=\displaystyle\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=-\displaystyle\frac{e^y-e^{-y}}{2i}=i\sin hy\)

 

実部と虚部の比較から \(\sin x\sin hy=0\)、\(\cos x\cos hy=2\) がわかる。

 

\(\sin x\sin hy=0\)より\(\sin x=0\)または\(\sin hy=0\)

 

\(\sin hy=0\)のとき

\(y=0\)となるが \(\cos h0=\displaystyle\frac{e^0+e^{-0}}{2}=1\)

より、\(\cos x=2\)となって不適。

 

\(\sin x=0\)のとき

\(x=m\pi\)であり、\((-1)^m\cos hy=2\)

 

\(cos hy>0\)より mは偶数なので\(m=2n\)とおく。

 

\(\cos hy=\displaystyle\frac{e^y+e^{-y}}{2}=2\)を変形する。

 

\(e^{2y}-4e^y+1=0\)

 

\(e^{y}=2\pm \sqrt 3\)より \(y=\log(2\pm\sqrt 3)\)

 

よって \(z=x+yi=2n\pi+i\log(2\pm\sqrt 3)\)  (\(n\)は整数)

 

答え

\(z=2n\pi+i\log(2\pm\sqrt 3)\)  (\(n\)は整数)

 

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