数学問題bot28

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問題

https://twitter.com/mathbot77 の28番の問題です。

 

 

計算

問題の漸化式を気合で変形すると

 

\(a_{n+3}-3a_{n+2}+2a_{n+1}=a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=\cdots =a_{3}-3a_{2}+2a_{1}=2\)

 

\(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_{n}=2\) という漸化式を得られる。

 

この漸化式は特性方程式の解が\(1\)と\(2\)であることから

 

\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2\) \(\cdots\) ①

\(a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_{n})+2\) \(\cdots\) ②

 

の2通りに変形できる。

 

その1

①より \(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+2\) 

 

\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\) とおいて変形すると  \(b_{n+1}+2=2(b_{n}+2)\)

 

数列 {\(b_{n}+2\)} は初項\(2\)、公比\(2\)の等比数列。

 

\(b_{n}+2=2^n\)

 

\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\) \(\cdots\) ③

 

その2

②より \(a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_{n})+2\)

 

数列{\(a_{n+1}-2a_{n}\)}は初項\(-1\)の等差数列。

 

\(a_{n+1}-2a_{n}=-1+2(n-1)=2n-3\) \(\cdots\) ④ が得られる。

 

まとめ

\(a_{n+1}-a_{n}=2^n-2\)  \(\cdots\) ③

 

\(a_{n+1}-2a_{n}=2n-3\)  \(\cdots\) ④

 

③-④ より \(a_{n}=2^n-2n+1\)

 

答え

\(a_{n}=2^n-2n+1\)

 

メモ

・漸化式に関して

漸化式その2の部分で、次のような変形も可能。

 

\(a_{n+2}-2a_{n+1}-2(n+1)=a_{n+1}-2a_{n}-2n=\cdots =-3\) より

 

\(a_{n+1}-2a_{n}=2n-3\) \(\cdots\) ④ 

 

・この問題に関して

隣接4項間漸化式として気合で解くこともできる。

 

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