数学問題bot3

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数学問題bot3

https://twitter.com/mathbot77

の3番の問題です。

思考

2番の問題と似ています。考えはほぼ同じです。

計算

\(\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{\cdots}}}} \)

 解いていきます。

\(x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{\cdots}}}} \) とおくと根号の中の第二項が\(x\) そのものとなっている。数式で書くと

\(x=\sqrt{a+x}\) なのでこの方程式を解く。二乗して計算すると

\(x^2-x-a=0\)

\( x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}\)

ここで\(x\)は問題より正なので

答え

 \( x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\) となる。

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