数学問題bot3

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数学問題bot3

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の3番の問題です。

 

思考

2番の問題と似ています。考えはほぼ同じです。

 

計算

\(\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{\cdots}}}} \)

 

 解いていきます。

 

\(x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{\cdots}}}} \) とおくと根号の中の第二項が\(x\) そのものとなっている。数式で書くと

 

\(x=\sqrt{a+x}\) なのでこの方程式を解く。二乗して計算すると

 

\(x^2-x-a=0\)

 

\( x=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{1+4a}}{2}\)

 

ここで\(x\)は問題より正なので

 

答え

 \( x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\) となる。

 

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