数学問題bot4

シェアする

問題

https://twitter.com/mathbot77 の4番の問題です。

 

 

思考

カッコ内の変形が出来ればあとは計算するだけです。

最初の変形は分母の因数からの発想です。

計算

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{3n^2+6n+2}{n^3+3n^2+2n}\biggr)^2\)

 

カッコ内

\(\displaystyle\frac{3n^2+6n+2}{n^3+3n^2+2n}\)

 

\(=\displaystyle\frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)+n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{1}{n+2}\)

 

全体 

カッコ内の変形を代入して、まずは展開します。

 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{1}{n+2}\biggr)^2=\)

 

 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+2)^2}\)\(+\displaystyle\frac{2}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{2}{n(n+2)}+\displaystyle\frac{2}{(n+1)(n+2)}\biggr)\)

 

最初の三項 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+2)^2}\biggr)\) 

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) を使用する。※バーゼル問題。詳しくは下記を。

 

フーリエ級数に関連した等式です。

 

すると

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+2)^2}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}+\biggl(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}-1\biggr)+\biggl(\displaystyle\frac{\pi^2}{6}-1-\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}-\displaystyle\frac{9}{4} \)

引いている分は初項のずれによる部分。

 

後半三項

部分分数分解を使います。

 

 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{2}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{2}{n(n+2)}+\displaystyle\frac{2}{(n+1)(n+2)}\biggr)\)

 

 \(=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\biggr)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\biggr)+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}\biggr)\)

 

これらはすべて相殺しあい最初の方の数項のみ残ります。

 

\(=2+\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)+2\times\displaystyle\frac{1}{2}\) \(=\displaystyle\frac{9}{2}\)

 

答え

 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\displaystyle\frac{3n^2+6n+2}{n^3+3n^2+2n}\biggr)^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}-\displaystyle\frac{9}{4}+\displaystyle\frac{9}{2}\) \(=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}+\displaystyle\frac{9}{4}\)

 

 

シェアする