数学問題bot8

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数学問題bot8

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の8番の問題です。

 

 

思考

対称性を利用します。(シグマの変数が独立なので)

 

計算

\( I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{m^4+m^2n^2}\)

とおく。

\(m\)と\(n\)を入れ替えても値は同じなので

\( I=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^4+m^2n^2}=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^4+m^2n^2}\)

 

※今回、シグマがそれぞれ独立で(片方のシグマがもう一方に影響しないので)シグマの入れ替えが出来ます。

 

これら二つを足し合わせると

 \(2I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\displaystyle\frac{1}{m^2(m^2+n^2)}+\displaystyle\frac{1}{n^2(m^2+n^2)}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{m^2+n^2}{m^2 n^2(m^2+n^2)}\)

 

\(=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{m^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi^4}{36}\)

 

答え

\(=\displaystyle\frac{\pi^4}{72}\)

 

 

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