1/30公式

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1/30公式

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2dx=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\) 

 

証明

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta)^2 dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3(x-\beta)^2\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3 \cdot 2(x-\beta)dx\)  部分積分

 

\(=-\displaystyle\frac{2}{3}\biggl(\biggl[\displaystyle\frac{1}{4}(x-\alpha)^4(x-\beta)\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\displaystyle\frac{1}{4}(x-\alpha)^4 dx\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\biggl[\displaystyle\frac{1}{5}(x-\alpha)^5 \biggr]_{\alpha}^{\beta}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)

 

一般化

一般化した公式は以下の記事のぜひ。

 

有名な1/6公式を一般化した式についての解説です。一般化した等式の紹介及びその導出を2通りの方法で計算しています。

 

 

面積計算

 

 

\(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式を使って、斜線部の面積(\(=S\))を求める。

 

\(S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \biggl[(px+q)-(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\biggr]dx\)  面積

 

\(=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2 dx\) 因数分解

 

\(=-a\cdot\biggl[-\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5 \biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式

 

\(=\displaystyle\frac{a}{30}(\beta-\alpha)^5\)

 

\(a<0\)の時も考えると面積は \(S=\displaystyle\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^4\)

 

こちらを\(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式ということも多い。

 

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