[mathjax]
\(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\)の積分についてです。
※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\) の定積分は2019年の京大入試問題で小問として出てきました。
sin版はこちら（長くなったので分けましたが、やってることは同じです。）
その1 ノーマル解法
教科書はこのやり方が載っていた気がします。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx\)
\(t=\sin x\)とおく。\(dt=\cos x dx\)であるので
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t^2}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(1-t)(1+t)}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\) （部分分数分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{t+1}{t-1}\biggr|+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\biggr|+C\) （変数をもとに戻す）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl(\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\biggr)+C\) （\(1-\sin x>0\)のため。）
※\(1-\sin x>0\)に等号がつかないのは、問題の分母は0ではない（\(\cos x\neq 0\)）ので\(\sin x\neq 1\)となるため。
その2 ワイエルシュトラス置換
\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\) ※\(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) ワイエルシュトラス置換
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1-t^2}dt\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)
\(=\log \biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)
\(=\log \Biggl|\displaystyle\frac{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan \displaystyle\frac{x}{2}}\Biggr|+C\)
この置換については以下の記事に書いています。
その3 置換
※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)の積分を使って解く。
\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)とおく。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-dt}{\cos \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\biggr)}\)
\(=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{\sin t}\)
\(=-\log\biggl|\tan\displaystyle\frac{t}{2}\biggr|+C\)
※ワイエルシュトラス置換ですぐに解ける。（\(\tan\displaystyle\frac{t}{2}\)を置き換える）
\(=-\log\biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)\biggr|+C\)
※変数を元に戻した。
