1/cos xの積分 3通り

微分積分
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\(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\)の積分についてです。

 

※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\) の定積分は2019年の京大入試問題で小問として出てきました。

 

sin版はこちら(長くなったので分けましたが、やってることは同じです。)

1/sin xの積分 3通り
 \(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分についてです。 cos版はこちら(長くなったので分けました) ※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\...

 

 

その1 ノーマル解法

教科書はこのやり方が載っていた気がします。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx\)

 

\(t=\sin x\)とおく。\(dt=\cos x dx\)であるので

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t^2}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(1-t)(1+t)}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}\biggr)dt\)   (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{t+1}{t-1}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{\sin x+1}{\sin x-1}\biggr|+C\)   (変数をもとに戻す)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl(\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\biggr)+C\)    (\(1-\sin x>0\)のため。)

 

\(1-\sin x>0\)に等号がつかないのは、問題の分母は0ではない(\(\cos x\neq 0\))ので\(\sin x\neq 1\)となるため。

 

 

 

その2 ワイエルシュトラス置換

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)   ※\(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) ワイエルシュトラス置換

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2}{1-t^2}dt\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}\)

 

\(=\log \biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)

 

\(=\log \Biggl|\displaystyle\frac{1+\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan \displaystyle\frac{x}{2}}\Biggr|+C\)

 

この置換については以下の記事に書いています。

ワイエルシュトラス置換
今日は三角関数の積分の話です。 ワイエルシュトラス置換名前は聞いたことなくても知っている人多いと思います。\( t = \tan \displaystyle\frac{x}{2}\)  と置くあれです。これを使うと三角関数の積...

 

 

その3 置換

※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)の積分を使って解く。

 

\(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\)とおく。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-dt}{\cos \biggl(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\biggr)}\)

 

\(=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{\sin t}\)

 

\(=-\log\biggl|\tan\displaystyle\frac{t}{2}\biggr|+C\)

※ワイエルシュトラス置換ですぐに解ける。(\(\tan\displaystyle\frac{t}{2}\)を置き換える)

 

\(=-\log\biggl|\tan\biggl(\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)\biggr|+C\)

※変数を元に戻した。

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