分母が二次式の積分

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分母が二次式の積分

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+cx+d}\) を考える。

分母の二次式の判別式が負の時。判別式が正の時は因数分解して部分分数分解。

 

 

 平方完成

まず分母を平方完成して  \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}\) という形にする。

 

置換

\(x=a+b\tan \theta\)  と置換

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}\) より \(dx=\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}d\theta\) となる。

 

これらを最初の積分に代入すると

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{b^2(1+\tan^2\theta)}\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}d\theta=\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{b}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\theta}{b}+C\)

 

\(x=a+b\tan \theta\)  より \(\theta=\tan^{-1}\biggl(\displaystyle\frac{x-a}{b}\biggr)\) なので

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}=\displaystyle\frac{1}{b}\tan^{-1}\biggl(\displaystyle\frac{x-a}{b}\biggr)+C\)

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