分母が二次式の積分

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分母が二次式の積分

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+cx+d}\)

 

を考えていく。

 

 平方完成

 

 積分の前段階として、分母を平方完成して

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}\)

 

という形にする。

 

置換

 

\(x=a+b\tan \theta\)  と置き換える。

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}\)

 

より

 

\(dx=\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}d\theta\)

 

となる。 これらを最初の積分に代入すると

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{b^2(1+\tan^2\theta)}\displaystyle\frac{b}{\cos^2 \theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{d\theta}{b}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\theta}{b}+C\)

 

ここで \(\theta\) は \(x=a+b\tan \theta\) から計算すると

 

\(\theta=\tan^{-1}\biggl(\displaystyle\frac{x-a}{b}\biggr)\) 

 

よって最終的な解答は

 

\(=\displaystyle\frac{1}{b}\tan^{-1}\biggl(\displaystyle\frac{x-a}{b}\biggr)+C\)

 

 

 

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