アステロイドの曲線の長さと面積

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アステロイド

 

アステロイドとは \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\) で表される図形のことで、星芒形とも呼ばれる。

 

面積と曲線の長さを求めるため \(x=a\cos^3 \theta\)    \(y=a\sin^3 \theta\)と変換して計算する。※媒介変数表示

 

また、図形がx軸y軸に関して対称であることを利用して計算していく。

 

計算

面積

対称性を利用。図形はx軸y軸に関して対称なので第一象限の面積の4倍と考える。

 

\(S=4\displaystyle\int_{0}^{a} y dx\)

 

\(=4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} (a\sin^3\theta)(-3a\cos^2\theta\sin\theta) d\theta\)

 

\(=12a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta\cos^2\theta d\theta\)

 

\(=12a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta(1-\sin^2\theta) d\theta\)

 

\(=12a^2\biggl[\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta d\theta-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6\theta d\theta\biggr]\)

 

https://kikyousan.com/mathbottop/integralbot/integralbot40 

の結果を使うと

 

\(=12a^2\biggl(\displaystyle\frac{3!!}{4!!}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{5!!}{6!!}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{2}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{8}\pi a^3\)

曲線の長さ

これも対称性を利用する。

\(l=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}\biggr)^2} d\theta\)

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(-3a\cos^2\theta\sin\theta)^2+(3a\sin^2\theta\cos\theta)^2}d\theta\)

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{9a^2\cos^2\theta\sin^2\theta(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}d\theta\)

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a|\cos\theta\sin\theta|d\theta\)

 

\(=6a\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin 2\theta|d\theta\)

 

\(0\leq \theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)では \(\sin 2\theta\geq 0\)より絶対値を外せる。

 

\(=6a\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta d\theta\)

 

\(=6a\biggl[-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=6a\)

 

 

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