ベータ関数 ガンマ関数

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ベータ関数、ガンマ関数は有名な関数で、様々な性質を持っている。

 

 

ベータ関数

 

\(B(p , q)= \displaystyle\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\) という関数です。

 

ガンマ関数

 

\(\Gamma(p) =  \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p-1} dx\)

 

ガンマ関数は、階乗と密接な関係がある。

以下、ガンマ関数に関するいくつかの性質、式です。

 

\(\Gamma(n+1) =  n\Gamma(n)\)

証明

部分積分を行います。第一項は消えます。(\(e^x\)の作用のほうが大きい。)

 

\(\Gamma(n+1) \)\(=  \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n} dx=\biggl[-e^{-x} x^n\biggr]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} nx^{n-1} e^x dx\)\(= nΓ(n) \)

 

\(\Gamma(n+1) = n!\)

\(\Gamma(n+1)\)\(=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots =\)\(n!\)

 

\( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \)

証明

\(\Gamma(\frac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\)   ここで\(t=x^2\)とおく。

 

\(\displaystyle\int_0^{\infty}x^{-1}e^{-x^2}2xdx=2\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\)

 

この変形の最後で、\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{-x^2}dx\)    を利用した。

(\(x=-t\)の置換で示せる。)

 

最後の変形はガウス積分です。

ガウス積分はこちらの記事をご参照ください

ガウス積分の証明。

 

ベータ関数とガンマ関数の関係性

 

\(B(p , q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{ \Gamma(p+q)} \)

2変数の変数変換で導出できます。

 

問題

 

① \(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\)

 

② \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3\theta \cos ^4 \theta d\theta\)

  

 

解答

 

1番

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2-1} (1-x)^{\frac{1}{2}-1} dx=B\biggl(2 , \displaystyle\frac{1}{2}\biggr)= \displaystyle\frac {\Gamma(2) \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}= \displaystyle\frac{1!\sqrt{\pi}}{\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}=\)\(\displaystyle\frac{4}{3}\)

 

2番 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3\theta \cos ^4 \theta d\theta\)

 

まず、 \( t=\sin^2 \theta \)とおく。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \theta \cos^4 \theta d \theta\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t (1-t)^{\frac{3}{2}} dt=\displaystyle\frac{1}{2}B \biggl(2,\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac {\Gamma(2) \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{9}{2}\biggr)}=\displaystyle\frac{1! \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}{2\cdot \displaystyle\frac{7}{2}\cdot \displaystyle\frac{5}{2}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{35}\)

 

使用できる問題はかなり限られます。また、普通に置換して計算したほうが迷うことも少ないでしょう。性質自体は大変重要です。

 

 

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