ベータ関数導出

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ベータ関数

\(B(p,q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\) の定義から具体的なベータ関数の式を証明(導出)する。

 

ベータ関数、ガンマ関数の性質等はこちら。

ガンマ関数とベータ関数の性質と例題解説をやっていきます。

 

計算

\(B(p,q)= \displaystyle\int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\) を導出する。

※ガンマ関数…… \(\Gamma(z) =  \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt\)

 

導出

\(\Gamma(p)\Gamma(q)\)を計算していく。

 

\(\Gamma(p)\Gamma(q)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-s} s^{p-1}ds \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{q-1} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-u^2} u^{2p-2}2u du \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-v^2} v^{2q-2} 2v dv\) 

 

※\(s=u^2\geq 0\)、\(t=v^2\geq 0\)と変換した。

積分範囲が正なので、\(s\)と\(t\)は正。後で使う。

\(ds=2udu\)、\(dt=2tdt\)。

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-u^2-v^2} u^{2p-1} v^{2q-1} dudv\)  整理した。

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-r^2} (r\cos\theta)^{2p-1} (r\sin\theta)^{2q-1} rdrd\theta\)

 

極座標変換(\(u=r\cos\theta\)、\(v=r\sin\theta\)、\(dudv=rdrd\theta\))

\(u,v\geq 0\)より範囲は第一象限のみ。

「\(u\geq 0\)、\(v\geq 0\)」→「\(r\geq 0\)、\(0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)」

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{2(p+q)-1}dr \times 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-w} w^{(p+q)-1}dw \times 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\)

※第一項を\(r^2=w\) として計算した。

この前半はガンマ関数で書けるので以下のようになる。

 

\(=\Gamma(p+q) \times 2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\)

 

よって \(B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\)

 

 

さらに変形

\(2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2p-1}\theta \sin^{2q-1}\theta d\theta\)

 

\(t=\cos^2 \theta\)と変換する。

\(\displaystyle\frac{dt}{d\theta}=-2\cos\theta\sin\theta=-2t^{\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}\)であるので

 

\(=2\displaystyle\int_{1}^{0} t^{p-\frac{1}{2}} (1-t)^{q-\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{dt}{-2t^{\frac{1}{2}}(1-t)^{\frac{1}{2}}}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt\)

 

\(B(p,q)=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\) が示された。

 

 

もっと変形

\(x=\displaystyle\frac{1-t}{t}\) と置換する。

 

\(t=\displaystyle\frac{1}{x+1}\)であり、\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=-\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}\)

 

\(B(p,q)=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{p+q-2} \displaystyle\frac{(1-t)^{q-1}}{t^{q-1}} dt\)

 

\(=\displaystyle\int_{\infty}^{0} \biggl(\displaystyle\frac{1}{x+1}\biggr)^{p+q-2}\cdot x^{q-1}\cdot \biggl[-\displaystyle\frac{dx}{(x+1)^2}\biggr]\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{q-1}}{(x+1)^{p+q}}dx\)

 

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