サイクロイドの曲線の長さと面積

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サイクロイドとは

\(x=a(\theta-\sin\theta)\)

\(y=a(1-\cos\theta)\)

(\(0\leq\theta<2\pi\))   の媒介変数表示で表される曲線。

 

ちなみにサイクロイドは、円が転がる時に定点が描く曲線です。

最速降下曲線もサイクロイドです。

では、サイクロイドの曲線の長さと面積を求めていきます。

 

 

面積

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi a}y dx\)   ※\(\theta=2\pi\) のとき \(x=2\pi a\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} a(1-\cos\theta)\cdot a(1-\cos\theta) d\theta\)  \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta)\)

 

\(=a^2\displaystyle\int_{0}^{2\pi} (1-2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta\)

 

\(=a^2\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \biggl(1-2\cos\theta+\displaystyle\frac{1+\cos 2\theta}{2}\biggr)d\theta\)   ※半角公式

 

\(=a^2\biggl[\theta-2\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{2\pi}\)

 

\(=3\pi a^2\)

 

曲線の長さ

\(L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}\biggr)^2}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2 \theta} d\theta\)

 

\(=a\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2-2\cos\theta} d\theta\)  ※整理した

 

\(=a\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\sin^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}} d\theta\)  ※半角公式利用 \(\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{2}=\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2}\)

 

\(=a\displaystyle\int_{0}^{2\pi} 2 \sin\displaystyle\frac{\theta}{2} d\theta\)   ※\(0\leq \theta<2\pi\) \(\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}\geq 0\)より絶対値は外せる。 

 

\(=4a\biggl[-\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}\biggr]_{0}^{2\pi}\)

 

\(=8a\)

 

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