微分1 微分の基本

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微分の基本

微分→  関数上のある点での接線の傾きを求める

数2で習う微分の基本事項をまとめました。

基本用語

平均変化率

関数 \(y=f(x)\) で\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) をaからbまで変化するときの平均変化率という。

関数上の二点を選んだ時の傾き

微分係数

平均変化率においてbをaに近づけていくとaでの傾きが求まる。その値を \(f'(a) \)と表す。

b= a+hとすると

\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

関数上の二点を近づけて、一点にしたときの傾き

導関数

微分係数とはある一点での傾きだったが、これを変数に拡張したもの。つまり、aをx(変数)としたもの。これは関数となる。

導関数を求めることを「微分する」という。

\(f'(x) \) \(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

一点ごとに傾きが決まるので、「\(x\) → その点での傾き」という関数(=導関数)を考える。

例題

\( f(x) = x^{2}  \)

① xが1から5まで変化するときの平均変化率。

② x=4での微分係数

③ 導関数  (=微分せよ)

解答

\(\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1}\)

\(=\displaystyle\frac{5^{2}-1^{2}}{5-1}\)

\(=6\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(4+h)^{2}-4^{2}}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+8h}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+8)=8\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+2xh}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+2x)=2x\)

③にx=4を代入すると②の答えが出てきます。

②はそのようにして求めることもできます。(そのほうが普通)

毎回、このように定義から導関数を求めていては大変なので、よくある関数に関しては導関数が公式化しています。

微分の公式

① \( (x^{n})’ = nx^{n-1}\)

例題、次の関数を微分する。

① \( y= x^{4}+x^{2}-2x \)

② \( y= -\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+6 \)

解答 、 項ごとに微分を適用します。

① \(y’ = 4x^{3}+2x-2 \)

② \( y’= -x^{2} \)

以下、数3でやるものです。 

② 合成関数

  \( {f(x)g(x)}’ = {f(x)}’g(x)+f(x){g(x)}’ \)

③ 分数関数

\( [\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}]’\)

\(=  \displaystyle\frac{f’ (x)g(x)-f(x)g'(x)}{{g(x)}^{2}}\)

④ 三角関数

 \( ( \sin x)’  = \cos x\)

 \( ( \cos x)’  = -\sin x\)

 ⑤ 指数対数

\((a^{x})’ = a^{x} \log a \)

 \( (\log_{a} x )’ = \displaystyle\frac{1}{x\log a}\)

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