目次
微分の基本
微分→ 関数上のある点での接線の傾きを求める
基本用語
平均変化率
関数 \(y=f(x)\) で\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) をaからbまで変化するときの平均変化率という。
→関数上の二点を選んだ時の傾き
微分係数
平均変化率においてbをaに近づけていくとaでの傾きが求まる。その値を \(f^{\prime}(a) \)と表す。
$b=a+h$とすると
$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
関数上の二点を近づけて、一点にしたときの傾き
導関数
微分係数とはある一点での傾きだったが、これを変数に拡張したもので、これは関数となる。
導関数を求めることを「微分する」という。
$f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
一点ごとに傾きが決まるので、「\(x\) → その点での傾き」という関数(=導関数)を考える。
例題
\( f(x) = x^{2} \)
① xが1から5まで変化するときの平均変化率。
② x=4での微分係数
③ 導関数 (=微分せよ)
解答
①
\(\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\displaystyle\frac{5^{2}-1^{2}}{5-1}=6\)
②
\(\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(4+h)^{2}-4^{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+8h}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+8)=8\)
③
\(\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+2xh}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+2x)=2x\)
③にx=4を代入すると②の答えが出てきます。
②はそのようにして求めることもできます。(そのほうが普通)
毎回、定義から導関数を求めてるのは大変なので、導関数は公式になっています。
微分の公式
多項式
\( (x^{n})^{\prime} = nx^{n-1}\)
例題、次の関数を微分する。
① \( y= x^{4}+x^{2}-2x \)
② \( y= -\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+6 \)
解答 、 項ごとに微分を適用します。
① \(y^{\prime} = 4x^{3}+2x-2 \)
② \( y^{\prime}= -x^{2} \)
合成関数
\( {f(x)g(x)}^{\prime} = {f(x)}^{\prime} g(x)+f(x){g(x)}^{\prime} \)
分数関数
\(\left[\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime} (x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{{g(x)}^2}\)
三角関数
\(( \sin x)^{\prime}= \cos x\)
\(( \cos x)^{\prime}= -\sin x\)
\(( \tan x)^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)
指数対数
\((a^{x})^{\prime}= a^{x} \log a \)
\( (\log_{a} x )^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{x\log a}\)