微分の基本
微分→ 関数上のある点での接線の傾きを求める
数2で習う微分の基本事項をまとめました。
基本用語
平均変化率
関数 \(y=f(x)\) で\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) をaからbまで変化するときの平均変化率という。
→関数上の二点を選んだ時の傾き
微分係数
平均変化率においてbをaに近づけていくとaでの傾きが求まる。その値を \(f'(a) \)と表す。
b= a+hとすると
\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
関数上の二点を近づけて、一点にしたときの傾き
導関数
微分係数とはある一点での傾きだったが、これを変数に拡張したもの。つまり、aをx（変数）としたもの。これは関数となる。
導関数を求めることを「微分する」という。
\(f'(x) \) \(=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
一点ごとに傾きが決まるので、「\(x\) → その点での傾き」という関数（＝導関数）を考える。
例題
\( f(x) = x^{2} \)
① xが1から5まで変化するときの平均変化率。
② x=4での微分係数
③ 導関数 (=微分せよ）
解答
①
\(\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1}\)
\(=\displaystyle\frac{5^{2}-1^{2}}{5-1}\)
\(=6\)
②
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(4+h)^{2}-4^{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+8h}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+8)=8\)
③
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+2xh}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+2x)=2x\)
③にx=4を代入すると②の答えが出てきます。
②はそのようにして求めることもできます。（そのほうが普通）
毎回、このように定義から導関数を求めていては大変なので、よくある関数に関しては導関数が公式化しています。
微分の公式
① \( (x^{n})’ = nx^{n-1}\)
例題、次の関数を微分する。
① \( y= x^{4}+x^{2}-2x \)
② \( y= -\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+6 \)
解答 、 項ごとに微分を適用します。
① \(y’ = 4x^{3}+2x-2 \)
② \( y’= -x^{2} \)
以下、数3でやるものです。
② 合成関数
\( {f(x)g(x)}’ = {f(x)}’g(x)+f(x){g(x)}’ \)
③ 分数関数
\( [\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}]’\)
\(= \displaystyle\frac{f’ (x)g(x)-f(x)g'(x)}{{g(x)}^{2}}\)
④ 三角関数
\( ( \sin x)’ = \cos x\)
\( ( \cos x)’ = -\sin x\)
⑤ 指数対数
\((a^{x})’ = a^{x} \log a \)
\( (\log_{a} x )’ = \displaystyle\frac{1}{x\log a}\)