微分の基本

微分積分
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微分の基本

微分→  関数上のある点での接線の傾きを求める

 

基本用語

平均変化率

関数 \(y=f(x)\) で\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) をaからbまで変化するときの平均変化率という。

関数上の二点を選んだ時の傾き

 

微分係数

平均変化率においてbをaに近づけていくとaでの傾きが求まる。その値を \(f^{\prime}(a) \)と表す。

$b=a+h$とすると

$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

 

関数上の二点を近づけて、一点にしたときの傾き

 

導関数

微分係数とはある一点での傾きだったが、これを変数に拡張したもので、これは関数となる。

導関数を求めることを「微分する」という。

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

 

一点ごとに傾きが決まるので、「\(x\) → その点での傾き」という関数(=導関数)を考える。

 

例題

\( f(x) = x^{2}  \)

① xが1から5まで変化するときの平均変化率。

② x=4での微分係数

③ 導関数  (=微分せよ)

 

 

解答

\(\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\displaystyle\frac{5^{2}-1^{2}}{5-1}=6\)

 

\(\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(4+h)-f(4)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(4+h)^{2}-4^{2}}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+8h}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+8)=8\)

 

\(\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+2xh}{h}\)

\(=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+2x)=2x\)

 

③にx=4を代入すると②の答えが出てきます。

②はそのようにして求めることもできます。(そのほうが普通)

 

毎回、定義から導関数を求めてるのは大変なので、導関数は公式になっています。

 

微分の公式

多項式

\( (x^{n})^{\prime} = nx^{n-1}\)

 

例題、次の関数を微分する。

① \( y= x^{4}+x^{2}-2x \)

② \( y= -\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+6 \)

 

解答 、 項ごとに微分を適用します。

① \(y^{\prime} = 4x^{3}+2x-2 \)

② \( y^{\prime}= -x^{2} \)

 

合成関数

  \( {f(x)g(x)}^{\prime} = {f(x)}^{\prime} g(x)+f(x){g(x)}^{\prime} \)

 

分数関数

\(\left[\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime} (x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{{g(x)}^2}\)

 

三角関数

 \(( \sin x)^{\prime}= \cos x\)

 \(( \cos x)^{\prime}= -\sin x\)

 \(( \tan x)^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)

 

 指数対数

\((a^{x})^{\prime}= a^{x} \log a \)

 \( (\log_{a} x )^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{x\log a}\)

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