微分の基本

1 微分の基本

微分の基本

微分→ 関数上のある点での接線の傾きを求める

基本用語

平均変化率

関数　$y=f(x)$ で$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$　をaからbまで変化するときの平均変化率という。

→関数上の二点を選んだ時の傾き

微分係数

平均変化率においてbをaに近づけていくとaでの傾きが求まる。その値を $f^{\prime}(a) $と表す。

$b=a+h$とすると

$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

関数上の二点を近づけて、一点にしたときの傾き

導関数

微分係数とはある一点での傾きだったが、これを変数に拡張したもので、これは関数となる。

導関数を求めることを「微分する」という。

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

一点ごとに傾きが決まるので、「$x$ → その点での傾き」という関数（＝導関数）を考える。

例題

$ f(x) = x^{2} $

① xが1から5まで変化するときの平均変化率。

② x=4での微分係数

③ 導関数 (=微分せよ）

解答

①

$\displaystyle\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\displaystyle\frac{5^{2}-1^{2}}{5-1}=6$

②

$\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(4+h)^{2}-4^{2}}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+8h}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+8)=8$

③

$\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{h^{2}+2xh}{h}$

$=\displaystyle\lim_{h\to 0} (h+2x)=2x$

③にx=4を代入すると②の答えが出てきます。

②はそのようにして求めることもできます。（そのほうが普通）

毎回、定義から導関数を求めてるのは大変なので、導関数は公式になっています。

微分の公式

多項式

$ (x^{n})^{\prime} = nx^{n-1}$

例題、次の関数を微分する。

①　$ y= x^{4}+x^{2}-2x $

②　$ y= -\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+6 $

解答、項ごとに微分を適用します。

①　$y^{\prime} = 4x^{3}+2x-2 $

②　$ y^{\prime}= -x^{2} $

合成関数

$ {f(x)g(x)}^{\prime} = {f(x)}^{\prime} g(x)+f(x){g(x)}^{\prime} $

分数関数

$\left[\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime} (x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{{g(x)}^2}$

三角関数

$( \sin x)^{\prime}= \cos x$

$( \cos x)^{\prime}= -\sin x$

$( \tan x)^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$

指数対数

$(a^{x})^{\prime}= a^{x} \log a $

$ (\log_{a} x )^{\prime}= \displaystyle\frac{1}{x\log a}$