「脱出！恐怖の骨川ハウス」で出題されていた問題です。
しずかちゃんが「こんなの中学生でも解けないと思う」といってましたがその通りでしょう笑
高校生でも正答率はどれくらいになるだろうか？
問題
\( F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-a\cos x|dx\) を最小にする\(a\)の値を求めよ。
考え方
やはり、絶対値が扱いにくいのでここを外すことを考えて解いていきましょう。
場合分けをしていくことになります。
よくある難問くらいのレベルでしょうか笑
解答
場合分けをします。\(a\)の値によって絶対値の外し方が変わるのでここから考えます。
\(a \leq 0\)の時
今、積分範囲は\(0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)。
この時、\(\sin x\geq 0\)かつ \(\cos x \geq 0\) より \(\sin x-a\cos x \geq 0\)となり絶対値が外せます。
\(F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx\)
\(\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-a-(-1)=1-a\)
\(a=0\) で最小値１をとる。
\(a > 0\)の時
\( g(x)=\sin x-a\cos x\) とおく。
\(g'(x)=\cos x+a\cos x\) ……これは \(0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\) で常に正。
\(g(0)=-a<0\) かつ \(g(\displaystyle\frac{\pi}{2})=1>0\) より増減表は以下。
| \(x\) | \(0\) | \(t\) | \(\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(g'(x)\) | + | + | + | ||
| \(g(x)\) | \(-a\) | ↗ | \(0\) | ↗ | \(1\) |
\(t\) は \(g(t)=0\) となるような数。
増減表から、\(0 \leq x\leq t\)で \(g(x)\) は負、\(t \leq x\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}\) で \(g(x)\) は正であることを考慮して絶対値を外し計算していく。
\(F(a)=\displaystyle\int_{0}^{t}(-\sin x+a\cos x)dx+\displaystyle\int_{t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx\)
\(=\biggl[\cos x+a\sin x\biggr]_{0}^{t}+\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{t}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=2a\sin t+2\cos t-a-1\)
今、\(g(t)=0\) を考えると \(\tan t=a\) が導かれる。
\(\cos t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\)
よって
\(F(a)=2a\sin t+2\cos t-a-1\)
\(=2a\times a\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+2\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}-a-1\)
\(=2\sqrt{1+a^2}-a-1\)
\(F'(a)=\displaystyle\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}-1\)
\(F'(a)=0\) となるのは\(a>0\) より \(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) の時。
増減表は以下の通り。
| \(a\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt3}\) | ||
| \(F'(a)\) | \(-\) | \(0\) | ＋ | |
| \(F(a)\) | ↘ | \(\sqrt3-1\) | ↗ |
\(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\)の時、最小となる。
答え
場合分けしたがそれを合わせると \(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) の時最小になることがわかる。
（ちなみにこの時\(F(a)=\sqrt3-1\)）