ドラえもんで出た難問

「脱出！恐怖の骨川ハウス」で出題されていた問題です。

しずかちゃんが「こんなの中学生でも解けないと思う」といってましたがその通りでしょう。

問題

$ F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-a\cos x|dx$　を最小にする$a$の値を求めよ。

場合分けをします。$a$の値によって絶対値の外し方が変わるのでここから考えます。

今、積分範囲は$0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}$ です。

$\sin x\geq 0$かつ $\cos x \geq 0$ より $\sin x-a\cos x \geq 0$となり絶対値が外せます。

$F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx=\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$=1-a$

$a=0$ で最小値１をとる。

$ g(x)=\sin x-a\cos x$ とおく。

$g'(x)=\cos x+a\cos x$

$0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}$ より $g'(x)\geq 0$

$g(0)=-a<0$　かつ　$g(\displaystyle\frac{\pi}{2})=1>0$ より増減表は以下。

※$t$ は $g(t)=0$ となるような数。

$$\begin{cases} g(x)\leq 0 & \text{$(0 \leq x\leq t)$} \\ g(x)\geq 0 & \text{$(t \leq x\leq \displaystyle\frac{\pi}{2})$} \end{cases}$$

絶対値を外して計算していく。

$F(a)=\displaystyle\int_{0}^{t}(-\sin x+a\cos x)dx+\displaystyle\int_{t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx$

$=\biggl[\cos x+a\sin x\biggr]_{0}^{t}+\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{t}^{\frac{\pi}{2}}$

$=2a\sin t+2\cos t-a-1$

$g(t)=0$ を考えると $\tan t=a$ が導かれる。また

$\cos t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$

$=2a\times a\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+2\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}-a-1$

$=2\sqrt{1+a^2}-a-1$　

$F'(a)=\displaystyle\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}-1$

$F'(a)=0$ となるのは$a>0$ より　$a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}$ の時。

増減表は以下の通り

$F(a)$ は $a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}$の時、最小となる。

場合分けしたのを合わせると $a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}$　の時最小になることがわかる。

この時 $F(a)=\sqrt3-1$となる。