楕円の面積

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楕円の面積

媒介変数表示を介して計算していきます。

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)の楕円では

\(x=a\cos\theta\)

\(y=b\sin\theta\)

と書けます。(\(a>0\)、\(b>0\))

 

 

計算

第一象限の面積の4倍という考え方で計算します。

 

\(S=4\displaystyle\int_{0}^{a} y dx\)

 

\(=4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} b\sin\theta\times a(-\sin\theta)d\theta\) ※積分範囲も変わります。

 

\(=4ab\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta\)

 

\(=4ab\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=\pi ab\)

 

※これは結果を知っておくべきです。

※\(a=b\)(円のとき)面積は\(\pi a^2\) となっている。

 

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