楕円の面積
媒介変数表示を介して計算していきます。
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)の楕円では
\(x=a\cos\theta\)
\(y=b\sin\theta\)
と書けます。（\(a>0\)、\(b>0\)）
計算
第一象限の面積の4倍という考え方で計算します。
\(S=4\displaystyle\int_{0}^{a} y dx=4\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} b\sin\theta\times a(-\sin\theta)d\theta\) ※積分範囲も変わります。
\(=4ab\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta=4ab\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\pi ab\)
\(a=b\)（円のとき）面積は\(\pi a^2\) となっている。
