積分の基本

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基本用語

原始関数

\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。

積分するとは原始関数を求めることである。

 

積分定数

例えば、微分して \(x^2\) となる関数は\(\displaystyle\frac{x^3}{3}+3\) や \(\displaystyle\frac{x^3}{3}+5\) など、定数項の部分は何でもよくなる。これを積分定数\(C\)として表す。

 

積分とは

積分は微分の逆演算なります。

 

例えば、\(x^2\)を積分したい。とします。

これは「微分して\(x^2\)となるものを求めよ」ということです。

 

結果から言うと

\(\displaystyle\int x^2 dx=\displaystyle\frac{x^3}{3}+C\)

となります。新しい記号がたくさん登場してきました。

意味を理解すれば、左辺が面積を表していることが分かります。

 

記号解説、面積との関係

\(\displaystyle\int\) …… 「インテグラル」と言って「積分する」ことをあらわす記号です。足し合わせを意味しています。

 

\(dx\)  …… \(x\)の微小変化です。

 

\(C\) …… 積分定数。微分すると\(0\)になる部分は取り込めてしまうから残る。

 

つまり、\(\displaystyle\int f(x)dx\) というのは、\(f(x)\)(高さ) \(\times\) \(dx\)(微小な横幅) を足し合わせるので積分は面積を表しているのです。

 

積分公式

突然かもしれませんが、以下が積分公式になります。

 

多項式

\(\displaystyle\int x^n dx=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

 

三角関数

\(\displaystyle\int \sin x dx=-\cos x+C\)

\(\displaystyle\int \cos x dx=\sin x+C\)

 

 指数対数

\(\displaystyle\int a^x dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log x}+C\)

 \( (\log x )’ = x\log x-x+C\)

 

 

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