積分1 積分の基本

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積分の基本

 

 

基本用語

原始関数

\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。

積分するとは原始関数を求めることである。

 

積分定数

例えば、微分して \(x^2\) となる関数は\(\displaystyle\frac{x^3}{3}+3\) や \(\displaystyle\frac{x^3}{3}+5\) など、定数項の部分は何でもよくなる。これを積分定数\(C\)として表す。

 

積分

では、積分に入っていきます。

積分は微分の逆なります。

 

例えば、\(x^2\)を積分したい。とします。

これは微分して\(x^2\)となるものを求めよ、ということです。

結果から言うと

\(\displaystyle\int x^2 dx=\displaystyle\frac{x^3}{3}+C\)

となります。新しい記号がたくさん登場してきました。

まず、

\(\displaystyle\int\)というのは「インテグラル」と言って「積分する」ことをあらわす記号です。足し合わせを意味しています。

 

次に \(dx\) とは\(x\)の微小変化です。

つまり、\(\displaystyle\int f(x)dx\) というのは、\(f(x)\)(高さ) \(\times\) \(dx\)(横幅) を足し合わせる。→面積となるのです。

 

なので、積分は面積計算をしているということになります。

 

積分公式

すこし、突然かもしれませんが、\(x^n\)に関しては、以下が積分公式となります。

 

\(\displaystyle\int x^n dx=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

右辺を微分すれば、左辺に一致していることが分かります。

 

問題

まずは、計算問題をやってみましょう。

 

① \(\displaystyle\int 3x^2 dx\)

 

② \(\displaystyle\int (4x^3+x)dx\)

 

解答

\(\displaystyle\int 3x^2 dx=3\cdot \displaystyle\frac{x^3}{3}+C=x^3+C\)

 

②\(\displaystyle\int (4x^3+x)dx=4\cdot \displaystyle\frac{x^4}{4}+\displaystyle\frac{x^2}{2}+C=x^4+\displaystyle\frac{x^2}{2}+C\)

 

 

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