積分基礎確認問題

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積分問題

様々な種類の基礎問題をまとめました。

実力試しにどうぞ。

 

問題

① \(\displaystyle\int (x^2+6)dx\)

 

② \(\displaystyle\int_{-1}^{2} (x^2+x)dx\)

 

③ \(\displaystyle\int_{-1}^{1} (x-1)^3 dx\)

 

④ \(\displaystyle\int_{-1}^{1} |x^2+2x| dx\)

 

⑤ \(\displaystyle\int 2^x dx\)

 

⑥ \(\displaystyle\int \tan^2 xdx\)

 

⑦ \(\displaystyle\int \cos(2x-1)dx\)

 

⑧ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{x^2-x}\)

 

⑨ \(\displaystyle\int \sin^3 x\cos xdx\)

 

⑩ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx\)

 

⑪ \(\displaystyle\int x^2 e^xdx\)

 

⑫ \(\displaystyle\int e^x\cos xdx\)

 

⑬ \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\sin 2x|dx\)

 

⑭ \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan xdx\)

 

⑮ \(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)

 

 

解答

\( \displaystyle\frac{1}{3}x^3+6x+C\)

数Ⅱの不定積分の基本問題。

 

\(\displaystyle\frac{9}{2}\)

数Ⅱの定積分の基本問題。

 

\(-4\)

偶関数、奇関数の性質を利用します。数Ⅱの範囲。

\(\displaystyle\frac{1}{4}(x-1)^4\)としても解ける。(この問題ではそちらのほうがよかったかもしれない)

 

\(2\)

絶対値の中身の正負によって場合分けして解きます。

 

\(\displaystyle\frac{2^x}{\log 2}+C\)

指数の積分の基本問題。

 

\(\tan x-x+C\)

三角関数に関する積分。少し応用問題かもしれません。

\(\tan^2 x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-1\) と変形してから積分します。

 

 ⑦

\(\displaystyle\frac{1}{2}\sin(2x-1)+C\)

かたまりとみなす積分。

\(\displaystyle\int f(ax+b) dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\) 

 

\(\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x}\biggr|+C\)

部分分数分解の問題。この問題は部分分数分解自体は簡単ですが、部分分数分解の問題の多くは未知数設定して解くので計算がまあまあ大変です。

 

\(\displaystyle\frac{1}{4}\sin^4 x+C\)

三角関数の積分。初めのうちは置換しておくとよいでしょう。

 

\(\log (e^x+1)+C\)

\(\log \) 型になる積分。分子が分母の微分形となっています。

 

 \((x^2-2x+2)e^x+C\)

部分積分を繰り返す問題です。

 

\(\displaystyle\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+C\)

部分積分を繰り返す問題です。別の解き方もあります。

積分問題botの1番の解説です。

 

こちらの問題は少し違いますが、大筋は同じです。

 

 \(2\)

場合分けして解きます。

 

 \(\log 2\)

分子が分母の微分形型の定積分版。\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\)

 

 \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

\(x=\tan \theta\) とおく積分。

 

最後に

 

・学び始めは多くの積分が出てきて大変だと思います。どのパターンか見抜くのが難しいです。まずは、一つ一つの積分の基本をある程度マスターして、そのあとランダム計算問題をしていくと良いと思います。

・不定積分の場合、答えを微分すると元の関数になるかどうかで検算が出来ます。計算ミスが多い人はぜひ参考にしてみてください。

 

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