この積分解けますか?

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積分問題

 

問題

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\) という問題です。

 

 

 

解答

誤答

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{x}\biggr]_{-1}^{1}=-2\)

 

という計算は間違いです。理由は\(x=0\)の部分で関数が定義できない、発散しているからです。

 

正答

なので正しい計算は以下のようになります。

 

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}=\displaystyle\int_{-1}^{0}\displaystyle\frac{dx}{x^2}+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\)

 

グラフは\(y\)軸対称なので

\(=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\)  (グラフは\(y\)軸対称より、第一項と第二項が同じ値になるため)

 

\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\displaystyle\int_{t}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2}\)    (極限を使用。)

 

\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{x}\biggr]_{t}^{1}\)

 

\(=2\displaystyle\lim_{t\to +0}\biggl(\displaystyle\frac{1}{t}-1\biggr)\)

 

 \(=\infty\)

となり、答えは発散します。または、積分できない、となります。

 

グラフ

\(y=\displaystyle\frac{1}{x^2}\)のグラフイメージ。

\(y\)軸対称になります。

 

 

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