部分積分の裏技 瞬間部分積分

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部分積分の裏技

 

 

部分積分

素早く部分積分の計算を行う方法です。

瞬間部分積分法とよく呼ばれます。(正式な名前ではないらしい)

 

\(f(x)\)を微分する側、\(g(x)\)を積分する側とする。指数の正の数は積分回数。(正式な記号ではない。)

 

\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx=f(x)g^{+1}(x)-\displaystyle\int f'(x) g^{+1}(x)\)

 

\(=f(x)g^{+1}(x)-\biggl(f'(x) g^{+2}(x)-\displaystyle\int f”(x) g^{+2}(x)\biggr)\)

 

\(=f(x)g^{+1}(x)–f'(x) g^{+2}(x)+f”(x)g^{+3}(x)-\cdots +C\)

という風に計算できる。微分していくと消えるほうを\(f(x)\)にします。

部分積分の結果部分だけ取ってきた感じのものとなってる。

 

具体例をやってみます。

 

例題

1番

\(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)

 

2番

\(\displaystyle\int x^2\sin x dx\)

 

 

解答

1番

\(f(x)=x^2\)、\(g(x)=e^x\)と考える。(微分していくと消えるほうを\(f(x)\)にします。)

 

微分側 \(x^2 \to 2x \to 2\) 

積分側 \((e^x\to )\)\(e^x\to e^x\to e^x\)

 

赤色の部分を掛け合わせる。ただし、符号を交互にすることを忘れないこと。

 

\(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)\(=x^2 e^x-2x e^x+2e^x+C\)

 

2番

\(f(x)=x^2\)、\(g(x)=\sin x\)と考える。(微分していくと消えるほうを\(f(x)\)にします。)

 

微分側 \(x^2 \to 2x \to 2\) 

積分側 \((\sin x\to)\) \(-\cos x\to -\sin x\to \cos x\)

 

赤色の部分を掛け合わせる。ただし、符号を交互にすることを忘れないこと。

 

\(\displaystyle\int x^2\sin x dx\)

 

\(=x^2(-\cos x)-2x(-\sin x)+2\cos x+C\)

 

\(=(-x^2+2)\cos x+2x\sin x+C\)

 

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