[mathjax]
基本用語
原始関数
\(F'(x)=f(x)\)のとき、\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数という。
積分するとは原始関数を求めることである。
積分定数
例えば、微分して \(x^2\) となる関数は\(\displaystyle\frac{x^3}{3}+3\) や \(\displaystyle\frac{x^3}{3}+5\) など、定数項の部分は何でもよくなる。これを積分定数\(C\)として表す。
積分とは
積分は微分の逆演算となります。
例えば、\(x^2\)を積分したい。とします。
これは「微分して\(x^2\)となるものを求めよ」ということです。
結果から言うと
\(\displaystyle\int x^2 dx=\displaystyle\frac{x^3}{3}+C\)
となります。新しい記号がたくさん登場してきました。
意味を理解すれば、左辺が面積を表していることが分かります。
記号解説、面積との関係
\(\displaystyle\int\) …… 「インテグラル」と言って「積分する」ことをあらわす記号です。足し合わせを意味しています。
\(dx\) …… \(x\)の微小変化です。
\(C\) …… 積分定数。微分すると\(0\)になる部分は取り込めてしまうから残る。
つまり、\(\displaystyle\int f(x)dx\) というのは、\(f(x)\)（高さ） \(\times\) \(dx\)（微小な横幅） を足し合わせるので積分は面積を表しているのです。
積分公式
突然かもしれませんが、以下が積分公式になります。
多項式
\(\displaystyle\int x^n dx=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)
三角関数
\(\displaystyle\int \sin x dx=-\cos x+C\)
\(\displaystyle\int \cos x dx=\sin x+C\)
指数対数
\(\displaystyle\int a^x dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log x}+C\)
\( (\log x )’ = x\log x-x+C\)
