積分の基本

基本用語

$F^{\prime}(x)=f(x)$のとき、$F(x)$を$f(x)$の原始関数という。

積分するとは原始関数を求めることである。

微分して $x^2$となる関数は$\displaystyle\frac{x^3}{3}+3$ や $\displaystyle\frac{x^3}{3}+5$ など、定数項の部分は任意なので、これを積分定数$C$として表す。

積分は微分の逆演算となります。$x^2$を積分したいとします。

これは「微分して$x^2$となるものを求めよ」ということです。

結果から言うと次のようになります。

$$\displaystyle\int x^2 dx=\displaystyle\frac{x^3}{3}+C$$

$\displaystyle\int$　……　「インテグラル」と言って「積分する」ことをあらわす記号です。足し合わせを意味しています。

$dx$ 　……　$x$の微小変化です。

$C$　……　積分定数。微分すると$0$になる部分は取り込めてしまうから残る。

$\displaystyle\int f(x)dx$ というのは、$f(x)$（高さ） $\times$ $dx$（微小な横幅）を足し合わせるので積分は面積を表しているのです。

$\displaystyle\int x^n dx=\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\displaystyle\int \sin x dx=-\cos x+C$

$\displaystyle\int \cos x dx=\sin x+C$

$\displaystyle\int a^x dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log x}+C$

$\displaystyle\int\log x dx = x\log x-x+C$