目次
定義
\(F(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt\)
\(f(t)\) をラプラス変換すると \(F(s)\)になる。
例
その1
\(f(t)=1\)
\(\mathcal{L}(1)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} dt=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{s} e^{-st}\biggr]_{0}^{\infty}=0-\biggl(-\displaystyle\frac{1}{s}e^0\biggr)\)\(=\displaystyle\frac{1}{s}\)
その2
\(f(t)=t\)
\(\mathcal{L}(t)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} t e^{-st} dt=\biggl[-\displaystyle\frac{1}{s} te^{-st}\biggr]_{0}^{\infty}-\displaystyle\int_{0}^{\infty} -\displaystyle\frac{1}{s}e^{-st} dt=\displaystyle\frac{1}{s}\biggl[-\displaystyle\frac{1}{s}e^{-st}\biggr]_{0}^{\infty}\)\(=\displaystyle\frac{1}{s^2}\)
その3
\(f(t)=\cos at\)
\(\mathcal{L}(\cos at)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \cos at e^{-st} dt\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{a\sin at-s\cos at}{a^2+s^2}e^{-st}\biggr]_{0}^{\infty}\) （計算は面倒ですが、部分積分2回しただけです。）
\(=0-\biggl(\displaystyle\frac{-s}{a^2+s^2}\biggr)\)
\(=\displaystyle\frac{s}{a^2+s^2}\)
ラプラス変換一覧
上のように計算するといろいろな関数のラプラス変換が求められます。
\(\mathcal{L}(1)=\displaystyle\frac{1}{s}\)
\(\mathcal{L}(t)=\displaystyle\frac{1}{s^2}\)
\(\mathcal{L}(t^n)=\displaystyle\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(\mathcal{L}(\cos at)=\displaystyle\frac{s}{a^2+s^2}\)
\(\mathcal{L}(\sin at)=\displaystyle\frac{a}{a^2+s^2}\)
\(\mathcal{L}(e^{at})=\displaystyle\frac{1}{s-a}\)
\(\mathcal{L}(\cosh at)=\displaystyle\frac{s}{s^2-a^2}\)
\(\mathcal{L}(\sinh at)=\displaystyle\frac{a}{s^2-a^2}\)
