積分問題ランダム10問 第一弾

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積分問題ランダム10問 第一弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

問題

① \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3 x dx\)

② \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)

③ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\tan x}\)

④ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2-1}\)

⑤ \(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)

⑥ \(\displaystyle\int\tan^2 x dx\)

⑦ \(\displaystyle\int 3^x dx\)

⑧ \(\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}\biggr)^2 dx\)

⑨ \(\displaystyle\int (x+1)^{2019} dx\)

⑩ \(\displaystyle\int \sin \biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr) d\theta\)

 

 

解答

① \(\displaystyle\frac{4}{3}\)

② \(\log(e^x+1)+C\)

③ \(\log|\sin x|+C\)

④ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\biggr|+C\)

⑤ \(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)

⑥ \(\tan x-x+C\)

⑦ \(\displaystyle\frac{3^x}{\log x}+C\) 

⑧ \( \displaystyle\frac{1}{3}x^3+2x-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)

⑨ \(\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)

⑩ \(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)+C\)

 

 

解き方

1番

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^3 x dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} (1-\cos^2 x)\sin x dx=\displaystyle\int_{1}^{-1} (1-t^2)(-dt)\)      (\(t=\cos x\)と置換)

 

\(=\displaystyle\int_{-1}^{1} (1-t^2)dt=2\biggl[t-\displaystyle\frac{1}{3}t^3\biggr]_{0}^{1}=\)\(\displaystyle\frac{4}{3}\)

 偶関数の性質を使いましたが、使わずに普通に計算しても大丈夫です。

 

2番 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{1+e^{-x}}\)

 

分子分母に\(e^x\)をかける。

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{e^x}{e^x+1}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(e^x+1)’}{e^x+1}dx\)

 

\(=\log(e^x+1)+C\)

 ※分子が分母の微分形。

 

3番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\tan x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(\sin x)’}{\sin x}dx\)

 

\(=\log|\sin x|+C\)

 ※分子が分母の微分形。

 

4番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2-1}\)

 

部分分数分解

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\log|x-1|-\displaystyle\frac{1}{2}\log|x+1|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\biggr|+C\)

 

 

5番

\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)

 

半角公式

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\)\(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)

 

 

6番

\(\displaystyle\int\tan^2 x dx=\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}-1\biggr) dx\)

 

\(=\tan x-x+C\)

 

7番

公式通りです。

 

8番

\(\displaystyle\int\biggl(x+\displaystyle\frac{1}{x}\biggr)^2 dx\)

 

展開

\(=\displaystyle\int\biggl(x^2+2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\biggr) dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+2x-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)

 

9番

\(\displaystyle\int (x+1)^{2019} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)

カッコ内をかたまりとみて積分しています。\(t=x+1\) と置き換えると分かりやすいかもしれません。

 

\(\displaystyle\int t^{2019} dt=\displaystyle\frac{1}{2020}t^{2020}+C=\displaystyle\frac{1}{2020}(x+1)^{2020}+C\)

 

10番

\(\displaystyle\int \sin \biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr) d\theta\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{2}\cos\biggl(2\theta-\displaystyle\frac{\pi}{6}\biggr)+C\)

 

これもかたまりとみて積分しますが、\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)が出てくることに注意です。 ※9番と同様、置換すれば分かりやすい。

 

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