積分問題ランダム10問 第二弾

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積分問題ランダム10問 第二弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

問題 

① \(\displaystyle\int 1999x^{1999} dx\)

② \(\displaystyle\int\sin 1000x dx\)

③ \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

④ \(\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x dx\)

⑤ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos x}dx\)

⑥ \(\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dx}{x^2+4}\)

⑦ \(\displaystyle\int x^2 e^{x^3} dx\)

⑧ \(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)

⑨ \(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3^x-3^{-x}) dx\)

⑩ \(\displaystyle\int dx\)

 

 

解答

① \(\displaystyle\frac{1999}{2000}x^{2000}+C\)

② \(-\displaystyle\frac{1}{1000}\cos 1000x +C\)

③ \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

④ \(\displaystyle\frac{1}{8}x-\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)

⑤ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\)

⑥ \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\)

⑦ \(\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^3}+C\) 

⑧ \((x^2-2x+2)e^x+C\)

⑨ \(0\)

⑩ \(x+C\)

 

 

解き方

1番

ちゃんとわかっていれば問題ないですが、少し曖昧になっていると積分したらきれいな形を期待してか、\(x^{2000}+C\) などと答えてしまうかもしれません。

 

\(\displaystyle\int 1999x^{1999} dx\)

 

\(=1999\displaystyle\int x^{1999} dx=1999\cdot \displaystyle\frac{1}{2000}x^{2000}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1999}{2000}x^{2000}+C\)

 

2番

\(\displaystyle\int\sin 1000x dx\)

 

\(\displaystyle\int f(ax+b) dx= \displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)

という形なので、一気に解いてしまって問題ありません。

 

ピンとこなければ置換積分でも解けます。 \(t=1000x\)として

 

\(\displaystyle\int\sin 1000x dx=\displaystyle\int\sin t \cdot\displaystyle\frac{dt}{1000}=-\displaystyle\frac{\cos t}{1000}+C\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{1000}\cos 1000x +C\)

 

3番

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

 

\(x=\sin \theta\)と置き換えます。(\(\cos \theta\) でもいい。)

積分範囲は\(0\) ~\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)になり\(dx=\cos\theta d\theta\)なので

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\displaystyle\frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1-\sin \theta^2}}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

4番

\(\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x dx\)

 

\(=\displaystyle\int(\sin x\cos x)^2 dx=\displaystyle\int(\displaystyle\frac{\sin 2x}{2})^2 dx\)      ※二倍角

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int \sin^2 2x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int \displaystyle\frac{1-\cos 4x}{2} dx\)      ※半角

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}\sin 4x\biggr)+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{8}x-\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)

 

5番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx\)

 

\(t=\sin x\) とおくと \(dt=\cos x dx\) なので

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t^2}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(1-t)(1+t)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{1-t}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(1+t)-\displaystyle\frac{1}{2}\log(1-t)+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\biggl|\displaystyle\frac{1+t}{1-t}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log\displaystyle\frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\)

 

6番

\(\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\frac{dx}{x^2+4}\)

 

\(x=2\tan\theta\) と置き換えます。\(dx=2\displaystyle\frac{d\theta}{\cos\theta}\)、積分範囲は\(0\)~\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) となり、

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{2 d\theta}{4(1+\tan^2 \theta)\cdot \cos^2 \theta}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{d\theta}{2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{8}\)

 

7番

\(\displaystyle\int x^2 e^{x^3} dx\)

 

\(t=x^3\) とおく。(置き換えなくてもできるなら置き換える必要はない)

\(dt=3x^2 dx\) より

 

\(=\displaystyle\int e^t \displaystyle\frac{dt}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}e^t+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}e^{x^3}+C\) 

 

8番

\(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)

部分積分をひたすら繰り返す。

 

\(\displaystyle\int x^2 e^x dx=x^2 e^x-2\displaystyle\int x e^x dx\)

 

\(=x^2 e^x-2(x e^x-\displaystyle\int e^x dx)=x^2 e^x-2x e^x+2e^x+C\)

 

\(=(x^2-2x+2)e^x+C\)

 

9番

\(\displaystyle\int_{-2}^{2} (3^x-3^{-x}) dx\)

素直に積分計算しても求まると思いますが、ここでは偶関数、奇関数の性質を利用してみます。

 

\(f(x)=3^x-3^{-x}\) と考えて、\(f(-x)=3^{-x}-3^x=-(3^x-3^{-x})=-f(x)\) なので、これは奇関数。

つまり、積分した答えは\(0\)となる。(積分区間が対称なので)

 

10番

\(\displaystyle\int dx\)

 

これは、\(\displaystyle\int 1\cdot dx\) という意味です。

 

つまり答えは \(x+C\) となります。

 

 

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