積分問題ランダム10問 第三弾

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積分問題ランダム10問 第三弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

 

問題 

① \(\displaystyle\int \log 2^x dx\)

② \(\displaystyle\int (\log 2)^x dx\)

③ \(\displaystyle\int \log x^2 dx\)

④ \(\displaystyle\int(\log x)^2 dx\)

⑤ \(\displaystyle\int e^{\log_{2} x}dx\)

⑥ \(\displaystyle\int e^{x\log 2}dx\)

⑦ \(\displaystyle\int e\log x dx\)

⑧ \(\displaystyle\int \log \displaystyle\frac{x}{e} dx\)

⑨ \(\displaystyle\int \sqrt[e]{x} dx\)

⑩ \(\displaystyle\int  x\log x dx\)

 

 

解答

① \(\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log 2+C\)

② \(\displaystyle\frac{(\log 2)^x}{\log(\log 2)}+C\)

③ \(2x\log x-2x+C\)

④ \(x(\log x)^2-2x\log x+2x+C\)

⑤ \(\displaystyle\frac{x^{\log_{2} 2e}}{\log_{2} 2e}+C\)

⑥ \(\displaystyle\frac{2^x}{\log 2}+C\)

⑦ \(ex\log x-ex+C\) 

⑧ \(x\log x-2x+C\)

⑨ \(\displaystyle\frac{e}{e+1}x^{\frac{e+1}{e}}+C\)

⑩ \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\log x-\displaystyle\frac{1}{4}x^2+C\)

 

 

解き方

 

以下、\(\displaystyle\int \log x dx=x\log x-x+C\) という積分は知ってるものとして変形してます。(部分積分で示せます&この積分は覚えておくと良いです。)

 

\(a^{\log_{b} c}=c^{\log_{b} a}\) も所々使ってます。

 

1番

\(\displaystyle\int \log 2^x dx\)

 

\(=\displaystyle\int x\log 2 dx\)

 

ここで\(\log 2\)は定数なので係数と考えて次のようになる。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log 2+C\)

 

2番

\(\displaystyle\int (\log 2)^x dx\)

 

\(\log 2\) は定数。つまり、指数関数の積分なので、

 

\(\displaystyle\int a^x dx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C\)

を使う。(\(a=\log 2\)となっている。)

 

\(=\displaystyle\frac{(\log 2)^x}{\log(\log 2)}+C\)

 

3番

\(\displaystyle\int \log x^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\int 2\log x dx=2(x\log x-x)+C\)

 

\(=2x\log x-2x+C\)

 

4番

\(\displaystyle\int(\log x)^2 dx\)

 

\(t=\log x\) とおく。 \(x=e^t\) であり、\(dx=e^t dt\)であるので

 

\(\displaystyle\int t^2 e^t dt=(t^2-2t+2)e^t+C\)    ※部分積分です。

 

\(=x((\log x)^2-2\log x+2)+C\)

 

\(=x(\log x)^2-2x\log x+2x+C\)

 

5番

\(\displaystyle\int e^{\log_{2} x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int x^{\log_{2} e}dx\)

 

指数部分がややこしいですが、形は通常の積分です。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{1+\log_{2} e}x^{1+\log_{2} e}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{x^{\log_{2} 2e}}{\log_{2} 2e}+C\)

 

6番

\(\displaystyle\int e^{x\log 2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int e^{\log 2^x}dx=\displaystyle\int 2^x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{2^x}{\log 2}+C\)

 

7番

\(\displaystyle\int e\log x dx\)

 

\(e\)は定数なので係数とみて\(log x\) を積分。

 

\(=e\displaystyle\int \log x dx=e(x\log x-x)+C\)

 

\(=ex\log x-ex+C\) 

 

8番

\(\displaystyle\int \log \displaystyle\frac{x}{e} dx\)

 

\(=\displaystyle\int (\log x-\log e) dx\)

 

\(=\displaystyle\int\log x dx-\displaystyle\int 1 dx\)

 

\(=x\log x-x-x+C\)

 

\(=x\log x-2x+C\)

 

9番

 \(\displaystyle\int \sqrt[e]{x} dx\)

 

\(=\displaystyle\int x^{\frac{1}{e}} dx=\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{e}+1}x^{\frac{1}{e}+1} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{e}{e+1}x^{\frac{e+1}{e}}+C\)

 

10番

\(\displaystyle\int x\log x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}x^2\cdot\displaystyle\frac{1}{x} dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{2}x dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\log x-\displaystyle\frac{1}{4}x^2+C\)

 

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