積分問題ランダム10問 第四弾

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積分問題ランダム10問 第四弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

 

問題 

① \(\displaystyle\int  \sin x dx\)

② \(\displaystyle\int \sin^2 x dx\)

③ \(\displaystyle\int\sin^3 x dx\)

④ \(\displaystyle\int \sin^4 x dx\)

⑤ \(\displaystyle\int \sin 2x dx\)

⑥ \(\displaystyle\int \sin 3x dx\)

⑦ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

⑧ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\)

⑨ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}\)

⑩ \(\displaystyle\int  \displaystyle\frac{dx}{\sin^4 x}\)

 

 

解答

① \(-\cos x+C\)

② \(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)

③ \(\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x+C\)

④ \(\displaystyle\frac{3}{8}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)

⑤ \(-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x+C\)

⑥ \(-\displaystyle\frac{1}{3}\cos 3x+C\)

⑦ \(\log \biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

⑧ \(-\displaystyle\frac{1}{\tan x}+C\)

⑨ \(\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos\theta}{2\sin^2\theta}+C\)

⑩ \(-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)

 

 

解き方

9と10は難しめだと思われます。 

 

1番

公式通りです。

 

2番

\(\displaystyle\int\sin^2 x dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}dx\)      ※半角公式

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+C\)

 

3番

\(\displaystyle\int\sin^3 x dx\)

 

\(\displaystyle\int(1-\cos^2 x)\sin x dx\)

 

\(t=\cos x\)とおく。  \(dt=-\sin xdx\)

 

\(\displaystyle\int(1-t^2)(-dt)=\displaystyle\int(t^2-1)dt=\displaystyle\frac{1}{3}t^3-t+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3 x-\cos x+C\)

 

4番

\(\displaystyle\int \sin^4 x dx\)

 

\(=\displaystyle\int \biggl(\displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2}\biggr)^2 dx\)   ※半角公式

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int (1-2\cos 2x+\cos^2 2x)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\displaystyle\frac{1+\cos 4x}{2}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{8}x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{8}x-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2x+\displaystyle\frac{1}{32}\sin 4x+C\)

 

5番

\(\displaystyle\int \sin 2x dx\)

 

一気に解いて大丈夫です。    ※\(\displaystyle\int f(ax+b)=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)  という公式。

 

6番

5番同様。

 

7番

三角関数の置換 \(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) を適用する。

 

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{t^2+1}}\cdot \displaystyle\frac{2 dt}{t^2+1}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t+C\)

 

\(=\log \biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

 

8番

公式です。

 

9番

今回の問題の中では一番面倒です。

 

\(\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^4 x}dx\)

 

ここで \( t=\cos x \) と置き換えて、部分分数分解します。

 

\(\displaystyle\frac{dx}{\sin^3 x}=-\displaystyle\frac{dt}{(1-t^2)^2}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-t}+\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{(1+t)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1-t)^2}\biggr)dt\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\log|1+t|-\log|1-t|-\displaystyle\frac{1}{1+t}+\displaystyle\frac{1}{1-t}\biggr)+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{4}\log\biggl|\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr|-\displaystyle\frac{\cos x}{2\sin^2 x}+C\)

 

10番

\(\displaystyle\int  \displaystyle\frac{dx}{\sin^4 x}\)

 

\(=\displaystyle\int  \displaystyle\frac{dx}{\sin^2 x}\cdot\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}\)

 

\(=-\displaystyle\int\biggl(\displaystyle\frac{1}{\tan x}\biggr)’ \cdot\biggl(1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}\biggr)dx\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{\tan x}-\displaystyle\frac{1}{3\tan^3 x}+C\)

 

 

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