積分問題ランダム10問 第五弾

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積分問題ランダム10問 第五弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

 

問題 

① \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}\)

② \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)

③ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx\)

④ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{x}dx\)

⑤ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{x+1}dx\)

⑥ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}dx\)

⑦ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+x}\)

⑧ \(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x+1}{x^2+1}dx\)

⑨ \(\displaystyle\int(x^2+1)dx\)

⑩ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x+1}{x^2}dx\)

 

 

解答

① \(\log|x+1|+C\)

② \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

③ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C\)

④ \(\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\log |x|+C\)

⑤ \(x-2\log|x+1|+C\)

⑥ \(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x+2\log|x+1|+C\)

⑦ \(\log\biggl|\displaystyle\frac{x}{x+1}\biggr|+C\)

⑧ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log 2+\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

⑨ \(\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x+C\)

⑩ \(\log |x|-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)

 

 

解き方

 

1番

基本的な積分計算。あえて言うと、\(x+1\)をかたまりとみて積分。

 

2番

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}\)

 

\(x=\tan\theta\) とおく。範囲は\(0\)~\(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) となり、\(dx=\displaystyle\frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{d\theta}{(\tan \theta^2+1)\cos^2\theta}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

3番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx\)

 

分子が分母の微分形です。(係数を合わせます。)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\int\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C\)

 

※\(x^2+1\)は常に正なので絶対値を外している。(絶対値があってもいい)

 

4番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{x}dx\)

 

分子を分解する。※分子の次数が大きいので。

 

\(=\displaystyle\int x dx+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\log |x|+C\)

 

5番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x-1}{x+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x+1)-2}{x+1}dx=\displaystyle\int \biggl(1-\displaystyle\frac{2}{x+1}\biggr)dx\)

 

\(=x-2\log|x+1|+C\)

 

この問題や次の問題では、\(t=x+1\) などと置き換えても解けます。

 

6番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2+1}{x+1}dx\)

 

分子割る分母の割り算から次のように変形。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)+2}{x+1}dx=\displaystyle\int\biggl(x-1+\displaystyle\frac{2}{x+1}\biggr)dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x+2\log|x+1|+C\)

 

7番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2+x}\)

 

部分分数分解します。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x(x+1)}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x+1}\)

 

\(=\log|x|-\log|x+1|+C\)

 

\(=\log\biggl|\displaystyle\frac{x}{x+1}\biggr|+C\)

 

8番

\(\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x+1}{x^2+1}dx\)

 

分子を分解できるので分解します。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{x}{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{x^2+1}dx\)

 

2番と3番の結果を使用します。

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\log(x^2+1)\biggr]_{0}^{1}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log 2+\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

 

9番

基本の積分計算です。

 

10番

 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x+1}{x^2}dx\)

 

分子を分解します。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{x}{x^2}dx+\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{x^2}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}+\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x^2}\)

 

\(=\log |x|-\displaystyle\frac{1}{x}+C\)

 

 

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