積分問題ランダム10問 第六弾

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積分問題ランダム10問 第六弾

数Ⅲの範囲からの出題となっています。

 

 

 

問題 

① \(\displaystyle\int 2^{\sin x}\cos x dx\)

② \(\displaystyle\int \sin 2 dx\)

③ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{x^3+3}dx\)

④ \(\displaystyle\int x\sin x dx\)

⑤ \(\displaystyle\int e^{4x-3}dx\)

⑥ \(\displaystyle\int_{0}^{2}|x-1| dx\)

⑦ \(\displaystyle\int e^{-x}dx\)

⑧ \(\displaystyle\int\sin 3x\cos x dx\)

⑨ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt x-1}\)

⑩ \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2x}\)

 

 

解答

① \(\displaystyle\frac{2^{\sin x}}{\log 2}+C\)

② \(x\sin 2+C\)

③ \(\displaystyle\frac{1}{3}\log|x^3+3|+C\)

④ \(-x\cos x+\sin x+C\)

⑤ \(\displaystyle\frac{1}{4}e^{4x-3}+C\)

⑥ \(1\)

⑦ \(-e^{-x}+C\)

⑧ \(\displaystyle\frac{3}{2}\sin^2 x-\sin^4 x+C\)

⑨ \(2\sqrt x+2\log|\sqrt x-1|+C\)

⑩ \(\displaystyle\frac{1}{2}\log x+C\)

 

 

解き方

 

1番

\(\displaystyle\int 2^{\sin x}\cos x dx\)

 

\(t=\sin x\) とおく。\(dt=\cos x dx\) となるので

 

\(=\displaystyle\int 2^t dt=\displaystyle\frac{2^t}{\log 2}+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{2^{\sin x}}{\log 2}+C\)

 

2番

\(\sin 2\) は定数です。\(0.9\)くらいだそう。

なので、ここは積分には影響しません。

 

3番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{x^2}{x^3+3}dx\)

 

分子を分母の微分形にします。

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\int\displaystyle\frac{3x^2}{x^3+3}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\log|x^3+3|+C\)

 

4番

部分積分です。

 

\(\displaystyle\int x\sin x dx\)

 

\(=-x\cos x-\displaystyle\int -\cos x dx\)

 

\(=-x\cos x+\sin x+C\)

 

5番

\(\displaystyle\int f(ax+b)=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)という公式を利用します。

 

6番

絶対値の中身が正か負かで場合分けします。

 

\(0\leq x \leq 1\) の時は中身は負なので、\(|x-1|=-x+1\)

\(1\leq x \leq 2\) の時は中身は正なので、\(|x-1|=x-1\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2}|x-1| dx\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) dx+\displaystyle\int_{1}^{2}(x-1) dx\)

 

\(=\biggl[x-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\biggr]_{0}^{1}+\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}x^2-x\biggr]_{1}^{2}\)

 

\(=1\)

 

※ちなみに、面積計算から求めることもできます。検算するときに使えるので頭の片隅にあるとよいです。下の図。

 

 

7番

基本問題です。

 

8番

\(\displaystyle\int\sin 3x\cos x dx\)

 

\(=\displaystyle\int(3\sin x-4\sin^3 x)\cos x dx\)   ※三倍角公式

 

\(t=\sin x\) とすると\(dt=\cos x dx\) 。

 

\(=\displaystyle\int(3t-4t^3)dt=\displaystyle\frac{3}{2}t^2-t^4+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{3}{2}\sin^2 x-\sin^4 x+C\)

 

※和積公式を使っても解けます。

 

9番

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt x-1}\)

 

\(\sqrt x=t\) とおきます。\(x=t^2\) であり、\(dx=2tdt\)です。

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2t}{t-1}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{2(t-1)+2}{t-1}dt\)

 

※技巧的な変形かもしれないです。もしこの思考に至りにくければ、\(u=t-1\) と置き換えれば大丈夫です。ただ、この変形は便利です。

 

\(=\displaystyle\int\biggl(2+\displaystyle\frac{2}{t-1}\biggr)dt=2t+2\log|t-1|+C\)

 

\(=2\sqrt x+2\log|\sqrt x-1|+C\)

 

10番

係数が分数になっている積分です。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2x}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log x+C\)

 

 

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