スターリング公式

微分積分
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スターリング公式

スターリング公式とは

 

$n!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^{n}$ ($n>>1$)

 

 

証明

 

$\log n!$

$\log n!= \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} \log x dx$

※区分求積のようにグラフで考える。

 

$=\left[x\log x-x\right]_{\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} $

 

$=\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\log\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)-\displaystyle\frac{1}{2}\log\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}+C$

 

n!

上の式を変形して、$n!$の式にして近似式を計算していく。

 

$n!\simeq c\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n-\frac{1}{2}}$

 

$=c\left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+\displaystyle\frac{1}{2n}\right)^n \left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n e^{-\frac{1}{2}}$

 

ここで、$n>>1$を考えているので以下のように近似できる。

$\simeq cn^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}} \left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n e^{-\frac{1}{2}}=c\sqrt{n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

 

係数決定(ウォリスの公式)

以下の「$!!$」は二重階乗といい、飛ばし飛ばしの階乗(例、$5!!=5\times 3\times 1=15$)

 

$\displaystyle\frac{\pi}{2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{[(2n)!!]^2}{(2n+1)!!(2n-1)!!}$

※具体的に書き下すと法則が見える。

 

$=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{[(2n)!!]^4}{(2n+1)[(2n)!]^2}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{2^{4n}(n!)^4}{(2n+1)[(2n)!]^2}$

 

$\simeq \displaystyle\lim_{n\to\infty} \displaystyle\frac{c^2 n}{2(2n+1)}=\displaystyle\frac{c^2}{4}$

※$n!\simeq c\sqrt{n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$を代入して整理した。

 

より、$c=\sqrt{2\pi}$。

 

答え

$n!\simeq\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^{n}$ ($n>>1$)

 

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