テイラー展開、マクローリン展開

微分積分
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テイラー展開

テイラー展開とは

関数を多項式で近似する展開。

具体的に関数\(f(x)\) の近似式を以下に書きます。

\(x=a\) まわりのテイラー展開。

 

\( f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\displaystyle\frac{f^{\prime}^{\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\displaystyle\frac{f^{\prime}^{\prime}^{\prime}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\displaystyle\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \cdots\)

 

展開可能な条件

① \(x=a\) を含む区間で無限回微分可能。

② 剰余項が\(n\) を無限大にしたとき0に収束。

 

マクローリン展開とは

テイラー展開において\(a=0\) としたものです。

 

\(e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\cdots+\displaystyle\frac{x^n}{n!}+\cdots \)

 

\(\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots \)

 

\(\cos x=1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \)

 

 応用等

マクローリン展開はいろいろなところに使われています。

 

\(e\)に関する不等式

\(e^x=1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\cdots+\displaystyle\frac{x^n}{n!}+\cdots \) で\(x=1\) とすると

 

\(e=1+1+\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{3!}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n!}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}\)

 

さらに、\(\displaystyle\frac{1}{n!} \leq \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}\)であることを使うと(帰納法で証明可能)

 

\(e=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n!}\leq 1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}=1+\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}< 3\)

 

オイラーの等式

突然ですがマクローリン展開より

 

\(e^{ix}=1+ix-\displaystyle\frac{x^2}{2!}-\displaystyle\frac{ix^3}{3!}+\cdots\)

 

\(=(1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots)+i(x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\displaystyle\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots)\)

 

\(=\cos x+i\sin x\)

 

\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) が出てくる。

 

この式で\(x=\pi\) とおくと、\(e^{i\pi}=-1\) が示される。

物理の近似

\(\sin x \simeq x\)

\(\cos x \simeq 1-\displaystyle\frac{x^2}{2}\)

 

このような近似はマクローリン展開で\(x\) の次数が大きい項を微小として無視したものです。

 

\(e^x \simeq 1+x\) なども数学ではしばしば出てきますが、これもマクローリン展開です。

 

極限

\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x}=1\)

 

これも\(\sin x\)マクローリン展開で\(x\)で割って極限飛ばすと出てきます。

 

無限等比級数

\(\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots\)

これもマクローリン展開そのものです。

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