今日は受験数学の三角関数の積分の話です。
ワイエルシュトラスの置換
名前は聞いたことなくても知っている人多いと思います。
\( t = \tan \displaystyle\frac{x}{2}\) と置くあれです。
これを使うと三角関数の積分はすべて計算できます。
それぞれ、結果は以下のようになります。
置換結果
\( \tan x\)\( = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2} } {1-\tan\displaystyle\frac{x}{2} \tan\displaystyle\frac{x}{2}} = \)\(\displaystyle\frac{2t}{1-t^{2}}\)
\( \sin x\)\(= 2\sin \displaystyle\frac{x}{2} \cos\displaystyle\frac{x}{2}=2 \tan\displaystyle\frac{x}{2} \cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} \)
\( \cos x\)\(=\displaystyle\frac{\sin x}{\tan x}\)\(=\displaystyle\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \)
また、
\(dt=\displaystyle\frac{dx}{2 \cos ^{2}\displaystyle\frac{x}{2} } =\displaystyle\frac{1+t^{2}}{2} dx \) であるので
\(dx = \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)
※導く順番は、他の順番でもできます。
例題
\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)
\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\)
（ Cは積分定数）
※この問題ではこの置換を使わない方法でも解けます。
この積分に関して以下の記事にも書いています。
