ワイエルシュトラス置換

微分積分
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ワイエルシュトラス置換

$t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}$  と置く置換で、これを使うと三角関数の積分はすべて計算できます。

 

置換結果

\( \tan x\)\( = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan\displaystyle\frac{x}{2} \tan\displaystyle\frac{x}{2}}=\)\(\displaystyle\frac{2t}{1-t^{2}}\)

 

\( \sin x\)\(= 2\sin \displaystyle\frac{x}{2} \cos\displaystyle\frac{x}{2}=2 \tan\displaystyle\frac{x}{2} \cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} \)

 

\( \cos x\)\(=\displaystyle\frac{\sin x}{\tan x}\)\(=\displaystyle\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \)

 

\(dt=\displaystyle\frac{dx}{2 \cos ^{2}\displaystyle\frac{x}{2} } =\displaystyle\frac{1+t^{2}}{2} dx \)  より \(dx = \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)

 

 

例題

\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\)

 

この積分に関して以下にも書いています。

1/sin xの積分 3通り
 \(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分についてです。その1 ノーマル解法教科書はこのやり方が載っていた気がします。 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{...

 

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