ワイエルシュトラスの置換

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今日は受験数学の三角関数の積分の話です。

 

ワイエルシュトラスの置換

 

名前は聞いたことなくても知っている人多いと思います。

\( t = \tan \displaystyle\frac{x}{2}\)  と置くあれです。

これを使うと三角関数の積分はすべて計算できます。

それぞれ、結果は以下のようになります。

 

 

置換結果

\( \tan x\)\( = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2} }  {1-\tan\displaystyle\frac{x}{2} \tan\displaystyle\frac{x}{2}} = \)\(\displaystyle\frac{2t}{1-t^{2}}\)

 

\( \sin x\)\(= 2\sin \displaystyle\frac{x}{2} \cos\displaystyle\frac{x}{2}=2 \tan\displaystyle\frac{x}{2} \cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} \)

 

\( \cos x\)\(=\displaystyle\frac{\sin x}{\tan x}\)\(=\displaystyle\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \)

 

また、

\(dt=\displaystyle\frac{dx}{2 \cos ^{2}\displaystyle\frac{x}{2} } =\displaystyle\frac{1+t^{2}}{2} dx \)  であるので

 

\(dx = \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)

 

※導く順番は、他の順番でもできます。

 

例題

 

 

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)

 

\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\)

( Cは積分定数)

※この問題ではこの置換を使わない方法でも解けます。

 

この積分に関して以下の記事にも書いています。

1/sin xの積分の3通りの解法です。実際に解くときは1つ知っていたら大丈夫ですが、眺めておいて損はないです、

 

 

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