ワイエルシュトラス置換
$t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}$ と置く置換で、これを使うと三角関数の積分はすべて計算できます。
置換結果
\( \tan x\)\( = \displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan\displaystyle\frac{x}{2} \tan\displaystyle\frac{x}{2}}=\)\(\displaystyle\frac{2t}{1-t^{2}}\)
\( \sin x\)\(= 2\sin \displaystyle\frac{x}{2} \cos\displaystyle\frac{x}{2}=2 \tan\displaystyle\frac{x}{2} \cos^{2}\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\displaystyle\frac{x}{2}}\)\(=\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} \)
\( \cos x\)\(=\displaystyle\frac{\sin x}{\tan x}\)\(=\displaystyle\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \)
\(dt=\displaystyle\frac{dx}{2 \cos ^{2}\displaystyle\frac{x}{2} } =\displaystyle\frac{1+t^{2}}{2} dx \) より \(dx = \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)
例題
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sin x} dx\)\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\)
この積分に関して以下にも書いています。
