斜軸回転の体積 傘型分割

微分積分
スポンサーリンク

[mathjax]

斜軸回転の体積

回転体の体積で、斜めの軸まわりの場合を考えます。

 

問題

\(y=x^2\)と\(y=x\)で囲まれる部分を\(y=x\)軸まわりに回転させてできる立体の体積は?

 

 

 

解答

\(r=\displaystyle\frac{t-t^2}{\sqrt{2}}\)。および \(\sqrt{2} t=s+r\)より  \(s=\displaystyle\frac{t+t^2}{\sqrt{2}}\)

 

\(V=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}} \pi r^2 ds\) 

※\(y=x\)を軸とみた場合の通常通りの体積計算。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} \pi \biggl(\displaystyle\frac{t-t^2}{\sqrt{2}}\biggr)^2 \times \displaystyle\frac{1+2t}{\sqrt{2}} dt\) 

※枠内の関係式を使って変形した。

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^{1} (2t^5-3t^4+t^2)dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}t^6-\displaystyle\frac{3}{5}t^5+\displaystyle\frac{1}{3}t^3\biggr]_{0}^{1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{60}\pi\)

 

変数を変換する部分が難しく感じるかもしれません。というわけで以下、裏技公式です!

 

裏技公式(傘型分割)

入試では証明を入れておいた方が良いです。計算するだけの場合におすすめです。

 

\(y=ax\)と\(y=f(x)\)で囲まれる領域を\(y=ax\)まわりでまわしてできる体積は

\(V=\pi\cos\theta\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (ax-f(x))^2 dx\)

 

※\(\theta\)は\(y=ax\)と\(x\)軸のなす角。

\(\alpha\)、\(\beta\)は交点で\(\alpha<\beta\)

体積を傘のように分割して(円錐の表面積)足しあげている。

円錐の表面積は「\(\pi\times (母線の長さ)\times (底面の半径)\)」でこれを当てはめると

\(\pi\times(ax-f(x))\times((ax-f(x))\cos\theta)\)

これを足し上げるので上の公式のようになる。(※あくまでイメージ)

 

実際に先ほどの例題で計算をして見ましょう。

\(V=\pi\cos\theta\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (ax-f(x))^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^{1} (x-x^2)^2 dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} \biggl[\displaystyle\frac{1}{5}x^5-\displaystyle\frac{1}{2}x^4+\displaystyle\frac{1}{3}x^3\biggr]_{0}^{1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}\pi}{60}\)

一致していることが分かる。

 

タイトルとURLをコピーしました