複素関数1 複素関数とは

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複素関数1 複素関数とは

 

 

複素関数

 ここからは複素数関連の微分積分についてをやっていきます。

 

微分

実関数の時と似ているのですが、複素数になると点の近づけ方が平面から近づくようになるので強い条件になります。

微分は軽く触れる程度です。

 

積分

こちらが本題感はあります。基本的には正則な領域で考えます。

 

複素積分というのは、実関数での線積分のような定義です。

 

\(\displaystyle\int_{C} f(z) dz=F(z_{2})-F(z_{1})\)

 

という感じになり、値が経路によりません。(正則のみなら)

※複素数は平面なので、実関数の時と違い、経路がたくさん考えられる

 

ここで、始点と終点を同じにすると(\(z_{2}=z_{1}\))、この経路は閉曲線となり、

 

\(\displaystyle\oint_{C} f(z) dz=0\)  となります。

 

周回積分

一周積分のこと。これを考えます。

 

① 経路の内部に特異点がない場合

上の考えより\(0\)

 

② 経路内部に特異点がある場合

特異点に対応した、\(\displaystyle\frac{1}{z}\)の係数をそれぞれ求め、足し合わせたものに、\(2\pi i\) を掛ける。

※全てを展開して積分したときにここだけが残る。

 

\(\displaystyle\frac{1}{z}\)の係数(留数)の求め方

 

Ⅰ、公式を利用する。(使えるときは使う方がよい)

 

Ⅱ、実際に展開して、\(\displaystyle\frac{1}{z}\)の係数を求める。

 

実積分への応用 

上から、複素積分で、周回積分(一周積分)は求めることが出来る。

ここで、下の図のような半円の閉曲線を考える。

「実軸上の積分」+「半円上の積分」=「一周積分」

 

右辺は求められる。

左辺の第一項はこれは実関数の積分となる。(経路が実軸上なので)

つまり、基本的にはここを求めたい。

左辺に第二項はおさえ込み等を利用すれば\(0\)になることが多い。

※ここは個別に計算。

 

大まかに、複素積分計算で使う部分の流れはこのような感じです。

 

 

 

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