複素関数1 微分等

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微分

\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)において

 

点\(z_{0}\)で微分可能 ⇔ \(u,v\)が\((x_{0},y_{0})\)で全微分可能かつ\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\)、\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}\)

この式をコーシー・リーマン方程式という。

 

全ての点で微分可能なとき、\(f(z)\)は正則であるという。

 

例題

正則関数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)において、\(u(x,y)=x^2-y^2\)のとき調和関数となっていることを確認して、\(f(z)\)を求める。

 

※以下、下付きはその文字で偏微分している。

\(u_{x}=2x\)、\(u_{y}=-2y\)、\(u_{xx}=2\)、\(u_{yy}=-2\)

\(u_{xx}+u{yy}=0\) より調和関数。

 

\(f(z)\)は正則よりコーシー・リーマンの関係を満たす。

\(u_{x}=2x=v_{y}\)、\(u_{y}=2y=-v_{x}\)

 

\(v=2xy+f(x)\)、\(v=2xy+f(y)\) となる。

これより\(f(x)=f(y)=c\)(cは実定数)

\(v(x,y)=2xy+c\)

 

\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=x^2-y^2+i(2xy+c)\)

\(=z^2+ic\)

 

三角関数、指数関数

複素数では三角関数と指数関数は密接に関係してきます。

 

定義  \(e^z=e^{x+yi}=e^x(\cos y+i\sin y)\)

 

\(e^{z+2n\pi i} =e^z e^{2n\pi i}=e^z (\cos 2n\pi+\sin 2n\pi)=e^z\)

 

つまり、\(e^z\) は周期 \(2n\pi i\)の周期関数

 

対数関数

定義  \(z=e^w\) となる\(w\) を \(w=\log z\) と定義する。

 

\(e^z\) の周期性から \(e^{w+2n\pi i}=e^w=z\)

 

\(w+2n\pi i\)も解となる。\(w=\log z\)の値は一つには定まらず、無限にある。

 

ここで\(-\pi<Im(w)<\pi\) を満たすものを \(Log z\)と書くとこれは一意に決まり、対数の主値という。

 

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