複素関数2 積分
複素数の積分はコーシーの積分定理をはじめ、大事な性質が多くあります。
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線積分
複素関数の線積分の定義
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}\)
※ある点での関数値に極小の長さをかけて足し合わせる。
\(\Delta\)を0にしたときの極限値を\(\displaystyle\int_{C} f(z)dz\) とかく。
具体的な計算式は \(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\int_{a}^{b}f(z(t))\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt\)
例題
\(f(z)=z^2\) で、\(z=t+ti\) （\(0 \leq t \leq 1\)）に沿った線積分の値を求めよ。
\(\displaystyle\frac{dz}{dt}=1+i\)
\(f(z(t))=f(t+ti)=(t+ti)^2\)
\(\displaystyle\int_{0}^{1} f(z(t))\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt\)\(=\displaystyle\int_{0}^{1} (t+ti)^2\cdot(1+i)dt\)
\(=(1+i)^3 \displaystyle\int_{0}^{1} t^2 dt\)
\(=\displaystyle\frac{(1+i)^3}{3}\)
コーシーの積分定理
\(f(z)\)は\(D\)で正則とする。\(D\)に含まれる単一閉曲線を\(C\)とすると
\(\displaystyle\int_{C} f(z)dz=0\) が成立する。
※逆も成立し、モレラの定理と呼ばれる。
例 \(\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{z^3}{z-3} dz=0\) \(C=(z| |z|=1)\)
コーシーの積分公式
\(f(z)\)は\(D\)で正則とする。\(D\)に含まれる単一閉曲線を\(C\)とするとき
\(f(\alpha)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\) が成立。\(\alpha\) は\(C\)内部。
変形すると \(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz=2\pi if(\alpha)\) となる。以下の例題で使っていく。
※ \(n\)次の場合は以下のようになる。
\(f^{(n)}(\alpha)=\displaystyle\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}}dz\)
例題1
\(C=(z| |z|=2)\) ※複素平面で原点中心半径2の円。
\(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z-1}dz=2\pi ie\)
\(f(z)=e^z\) 、\(\alpha=1\)とした。
例題2
\(C=(z| |z|=2)\) ※複素平面で原点中心半径2の円。
\(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z(z-3)}dz=-\displaystyle\frac{2\pi i}{3}\)
\(f(z)=\displaystyle\frac{e^z}{z-3}\) 、\(\alpha=0\)とした。（z=0のみ内部にある。z=3は外部）
例題3
\(C=(z| |z|=2)\) ※複素平面で原点中心半径2の円。
\(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z-3}dz=0\)
経路内部が正則なのでコーシーの積分定理より\(0\)。
例題4
\(C=z| |z|=2\) ※複素平面で原点中心半径2の円。
\(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{(z-1)^2}dz=2\pi ie\)
n次の公式で、\(f(z)=e^z\) 、\(\alpha=1\)、\(n=1\)とした。