複素関数4 留数の原理

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※複素関数の一覧はこちら

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

留数

 

\(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。

 

\(\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz=\begin{cases} 0 & \text{$(k\neq -1)$} \\ 2\pi i & \text{$(k= -1)$} \end{cases}\)

であることを使って以下の計算をする。

 

\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz\)

 

\(=\cdots+a_{-2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-\alpha)^2} +a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}+a_{0}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^0 dz+a_{1}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha) dz+\cdots\)

 

\(=\cdots+0+a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha} +0+0+\cdots\)

 

\(=2\pi i a_{-1}\)

 

ここで、\(-1\)次の項の係数(\(a_{-1}\))を\(f(z)\)の\(\alpha\)における留数といい、\(Res (\alpha)\)などと書く。

 

留数さえ求まれば複素積分の値が求められる!

以下では、留数の求め方を書いていく。

 

 

 留数計算方法

 \(a_{-1}\)を求める。

 

1位の極を持つ場合

\(\alpha\)は一位の極なので \(f(z)=\displaystyle\frac{a_{-1}}{z-\alpha}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\)

\(\displaystyle\lim_{z\to\alpha} (z-\alpha) f(z)=a_{-1}\)

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}\) とする。分子分母をテイラー展開。

\(g(z)=b_{0}+b_{1}(z-\alpha)+b_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

\(h(z)=c_{1}(z-\alpha)+c_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

 

\(a_{-1}=\displaystyle\lim_{z\to\alpha} (z-\alpha)\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}=\displaystyle\frac{b_{0}}{c_{1}}=\)\(\displaystyle\frac{g(\alpha)}{h’ (\alpha)}\)

 

 

\(n\)位の極を持つ場合

\(a_{-1}=\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\lim_{z\to \alpha}\biggl[\displaystyle\frac{d^{n-1}(z-\alpha)^nf(z)}{dz^{n-1}}\biggr]\)

 

例題

n位の公式は計算が大変なのでローラン展開できるときはそちらで計算する方がよいです。

 

1番 

\(\displaystyle\frac{1}{z^4-1}\)の\(z=1\)での留数

 

\(\biggl[\displaystyle\frac{1}{(z^4-1)’}\biggr]_{z=1}=\biggl[\displaystyle\frac{1}{4z^3}\biggr]_{z=1}=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

2番 

\(\displaystyle\frac{\cos z}{z^3}\)の\(z=0\)での留数

 

\(\displaystyle\frac{\cos z}{z^3}=\displaystyle\frac{1}{z^3}\biggl(1-\displaystyle\frac{z^2}{2!}+\displaystyle\frac{z^4}{4!}-\cdots\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{z^3}-\displaystyle\frac{1}{2!z}+\displaystyle\frac{z}{4!}-\cdots\)

よって留数はローラン展開の\(-1\)次の係数より\(-\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

※公式を使うと \(\displaystyle\frac{1}{(3-1)!}\displaystyle\lim_{z\to 0}\displaystyle\frac{d^2}{d z^2}(\cos z)=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

3番

\(\displaystyle\frac{e^z}{z^4}\)の\(z=0\)での留数

 

\(\displaystyle\frac{e^z}{z^4}=\displaystyle\frac{1}{z^4}\biggl(1+z+\displaystyle\frac{z^2}{2!}+\displaystyle\frac{z^3}{3!}+\cdots \biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{z^4}+\displaystyle\frac{1}{z^3}+\displaystyle\frac{1}{2!z^2}+\displaystyle\frac{1}{3!z}+\cdots \)

 

よって留数はローラン展開の\(-1\)次の係数より\(\displaystyle\frac{1}{6}\)。

 

※公式を使うと \(\displaystyle\frac{1}{(4-1)!}\displaystyle\lim_{z\to 0}\displaystyle\frac{d^3}{d z^3} e^z=\displaystyle\frac{1}{6}\)

 

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