複素関数4 積分1
線積分
複素関数の線積分の定義
\(S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}\)
※ある点での関数値に極小の長さをかけて足す。
\(n\)が無限大でのこの極限を\(\displaystyle\int_{C} f(z)dz\) とかく。
具体的な計算式は
\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\int_{a}^{b}f(z(t))\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt\)
例題
\(f(z)=z^2\) で、\(z=t+ti\) （\(0 \leq t \leq 1\)）に沿った線積分の値を求めよ。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} f(z)\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt\)
\(\displaystyle\frac{dz}{dt}=1+i\)なので
\(=\displaystyle\int_{0}^{1} z^2\cdot(1+i)dt\)\(=\displaystyle\int_{0}^{1} t^2\cdot(1+i)^3 dt\)
\(=(1+i)^3\biggl[\displaystyle\frac{t^3}{3}\biggr]_{0}^{1}\)
\(=\displaystyle\frac{(1+i)^3}{3}\)
となります。