複素関数5 積分2

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複素関数5 積分2

 

 

コーシーの積分定理

\(f(z)\)は\(D\)で正則とする。\(D\)に含まれる単一閉曲線を\(C\)とすると

 

\(\displaystyle\int_{C} f(z)dz=0\)  が成立する。

 

 ちなみに逆も成立し、モレラの定理と呼ばれる。

 

 

発展形

 

\(C\)を含む領域全体で正則とすると以下が成立する。

 

\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\int_{C_{1}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{2}}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_{3}}f(z)dz+\cdots +\displaystyle\int_{C_{n}}f(z)dz\)

 

積分路変形原則

正則な点のみを通じての連続変形は可能である。(値が変化しない。)

 

コーシーの積分公式

 

\(f(z)\)は\(D\)で正則とする。\(D\)に含まれる単一閉曲線を\(C\)とする

 

\(f(\alpha)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\)

 が成立

 

証明

全体

 

積分路変形原則より

\(\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz=\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\)

 

※ \(C_{1}\)は点\(\alpha\) 中心とする半径\(r\)の円。

右辺から変形していく。

 

\(\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{f(z)-f(\alpha)+f(\alpha)}{z-\alpha}dz\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}dz\)\(+\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}\)

 

第一項

\(\biggl|\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}dz\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\frac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{C_{1}}\biggl|\displaystyle\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}\biggr||dz|\)

 

ここで\(r=|z-\alpha|\) と\(r\)が小さいとき、\(f(z)-f(\alpha)<\epsilon\)とできることを考えると

 

\(<\displaystyle\frac{\epsilon}{2\pi r}\displaystyle\int_{C_{1}}|dz|=\displaystyle\frac{\epsilon}{2\pi r}\cdot 2\pi r=\epsilon\)

 

 \(r\)を大きくすると第一項は\(0\)に行く。

 

第二項

\(\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}\)

 

\(C_{1}\)は点\(\alpha\) 中心とする半径\(r\)の円なので

 

\(z-\alpha=re^{i\theta}\) と \(dz=rie^{i\theta}d\theta\)

を代入。

 

\(\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}\)

 

\(=\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{rie^{i\theta}}{re^{i\theta}}d\theta=\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}i d\theta=\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\cdot 2\pi i\)

 

 

\(=f(\alpha)\)

 

まとめ

\(\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{f(z)-f(\alpha)}{z-\alpha}dz\)\(+\displaystyle\frac{f(\alpha)}{2\pi i}\displaystyle\int_{C_{1}}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}\)

 

\(=0+f(\alpha)=f(\alpha)\)

 

つまり、 \(f(\alpha)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\) が示される。

 

 

\(n\)次

\(f^{(n)}(\alpha)=\displaystyle\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}}dz\)   という式が成立。

 

 

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