複素関数7 留数の原理

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複素関数7 留数の原理

 

 

留数

\(\alpha\)を\(f(z)\)の孤立特異点とする。

 

\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz\)  とローラン展開。

 

\(\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^k dz\)

 

\(0\) \(\cdots\)   \(k\neq -1\)の時

\(2\pi i\) \(\cdots\)   \(k= -1\)の時

であるので、上の式で残るのは、\(-1\)次に関する項のみ。

 

\(\cdots+a_{-2}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{(z-\alpha)^2} +a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha}+a_{0}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha)^0 dz+a_{1}\displaystyle\int_{C}(z-\alpha) dz+\cdots\)

 

\(=\cdots+0+a_{-1}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{z-\alpha} +0+0+\cdots\)

 

\(=2\pi i a_{-1}\)

 

\(\displaystyle\int_{C}f(z)dz=2\pi i a_{-1}\)

 

ここで、\(-1\)次の項の係数(\(a_{-1}\))を\(f(z)\)の\(\alpha\)における留数という。

 

※孤立特異点が複数あれば、全て足す。

 

 留数計算

 \(a_{-1}\)を求める。逆に考えるとこれさえ求まれば目標クリアとなる。

 

孤立特異点\(\alpha\)が一位の極の場合。

 

ローラン展開は以下のようになる。

\(f(z)=\displaystyle\frac{a_{-1}}{z-\alpha}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}(z-\alpha)^k\)

 

両辺に\(z-\alpha\)をかける。

\((z-\alpha) f(z)=a_{-1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}(z-\alpha)^{k+1}\)

 

よって、 \(\displaystyle\lim_{z \to \alpha}(z-\alpha)f(z)=a_{-1}\) となり、留数を求められる。

 

 1位の極、一般

 \(f(z)=\displaystyle\frac{g(z)}{h(z)}\) とおく。

 

分子分母をテイラー展開。

\(g(z)=b_{0}+b_{1}(z-\alpha)+b_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

\(h(z)=c_{1}(z-\alpha)+c_{2}(z-\alpha)^2+\cdots\)

※\(g(z)\)は一位の極。

 

\(a_{-1}=\displaystyle\frac{b_{0}}{c_{1}}=\)\(\displaystyle\lim_{z\to \alpha}\displaystyle\frac{g(z)}{h’ (z)}\)

によって極を求められる。

 

\(n\)位の極を持つ場合

 

\(a_{-1}=\displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\lim_{z\to \alpha}\biggl[\displaystyle\frac{d^{n-1}(z-\alpha)^nf(z)}{dz^{n-1}}\biggr]\)

 

 

 

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