複素関数8 計算問題1

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複素関数8 計算問題1

 

 

問題

1番

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}\)

 

2番

 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

 

解答

1番 \(\displaystyle\frac{2}{3}\pi\)

2番 \(\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

解き方

1番

前提

\(z=e^{i\theta}\)  とおくと、\(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)

 

また、

\(z=e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\)

\(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos \theta-i\sin \theta\)

 

これら二式を足すと、\(z+z^{-1}=2\cos\theta\) が得られる。これらを問題に代入する。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\frac{d\theta}{5-4\cos \theta}=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{1}{5-2(z+z^{-1})}\cdot\displaystyle\frac{dz}{iz}=i\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{dz}{2z^2-5z+2}\)

 

ここで、経路は単位円で、内部にある極は、\(z=\displaystyle\frac{1}{2}\)。

 

よって、\(i\cdot 2\pi i Res_{(z=\frac{1}{2})}\displaystyle\frac{1}{2z^2-5z+2}\)

 

\(=-2\pi\cdot\biggl[\displaystyle\frac{1}{4z-5}\biggr]_{z=\frac{1}{2}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)

 

2番

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^4+1}\)

 

上の経路での積分を考えます。円の経路をBとおく。

 

\(\displaystyle\int_{C} \frac{1}{z^4+1}dz\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\int_{B} \frac{1}{z^4+1}dz\)

 

「一周」=「\(-R\)から\(R\)」+「反時計回りに半周」

 

左辺

領域内の極は

\(\alpha=e^{\frac{i\pi}{4}}\) と \(\beta=e^{\frac{3i\pi}{4}}\)

 

これら二点でのそれぞれの留数は

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\alpha\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\alpha^3}=\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}\)

 

\( Res\biggl( \displaystyle\frac{1}{1+z^4},\beta\biggr)=\displaystyle\frac{1}{4\beta^3}=\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\)

 

よってこの経路に沿った積分値は

 

\(\displaystyle\int_{C} \frac{1}{z^4+1}dz=\)\(2\pi i\biggl(\displaystyle\frac{-1-i}{4\sqrt 2}+\displaystyle\frac{1-i}{4\sqrt 2}\biggr)=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

右辺第一項

 R→∞にすると第一項は問題の式。

 

右辺第二項

R→∞のときを考える。

 

\(|z|>1\) の時、\(|z+1|^4\geq |z|^4-1=R^4-1>0\)

 

\(|f(z)| \leq \displaystyle\frac{1}{z^4+1}\) となる。

 

 よって、R→∞のとき

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{B} \displaystyle\frac{1}{z^4+1}dz\biggr| \leq \displaystyle\int_{B} \biggl|\displaystyle\frac{1}{z^4+1}\biggr||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^4-1}→0\)

 

まとめ

\(\displaystyle\int_{C} \frac{1}{z^4+1}dz\)\(=\displaystyle\int_{-R}^{R}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx+\int_{B} \frac{1}{z^4+1}dz\)

 

これらに上の結果を代入すると、答えは

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{x^4+1}dx=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt 2}\)

 

 

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