複素関数9 計算問題2

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複素関数9 計算問題2

 

 

問題

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx\)

 

 

解答

 

 

という経路を取ります。

実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{半円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx\)

 

変形すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{半円}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx=\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dx\)

 

結論から言うと、左辺の第二項と第三項が\(0\)になり、右辺が複素積分で計算できることから、求めたい左辺の第一項が計算できるというわけです。

 

一周積分

これは \(f(z)=\displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}dz \)

 

半円の中に含まれている極は、 \(z=ia\) なので、この値は

\(2\pi i\times\biggl[\displaystyle\frac{e^{iz}}{2z}\biggr]_{z=ia}\)\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{e^{-a}}{2ia}=\)

 

\(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

半円

これは0になることを以下に示します。

\(|f(z)|\) を上から押さえます。円上では\(|z|=R\) が成り立つ。

 

三角不等式から

\(|z^2+a^2|\geq |z|^2-a^2=R^2-a^2\)

 

また、

\(|e^{iz}|=|e^{i(x+yi)}|=|e^{ix-y}|=|e^{ix}||e^{-y}|=e^{-y}\leq 1\) (\(y\geq 0\)なので)

 

これら二つから、次のような不等式が成立。

 \(|f(z)|=\biggl|\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2+a^2}\biggr|\leq \displaystyle\frac{1}{R^2-a^2}\)

よって

\(|\displaystyle\int_{半円}f(z) dz|\leq \displaystyle\int_{半円}|f(z)||dz| \leq \displaystyle\frac{\pi R}{R^2-a^2}\)

これは、\(R\) を無限大にすると\(0\) に収束。

 

結果

実軸上「\(-R\)~\(R\)」\(+\)「半円」=「一周積分」

 

半円部分が0で、一周積分部分が \(\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)なので

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{e^{ix}}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{i \sin x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

これの第二項は奇関数なので、\(0\)となる。

 

問題の積分の答えは以下のようになる。

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{\cos x}{x^2+a^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{ae^a}\)

 

 

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