複素積分問題1

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\)

 

 

解答1

楕円経路を取る。 すなわち \(z=x+yi=a\cos\theta+ib\sin\theta\) とする。

 

突然だが、\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}\) を二通りで表す。

 

その1 線積分計算

\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{z'(\theta)}{z(\theta)} d\theta\)  

 

(※ \(\displaystyle\oint f(z) dz=\displaystyle\int_{a}^{b} f(z(\theta))\displaystyle\frac{dz}{d\theta}d\theta\) で\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\)と置いた感じ。)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{-a\sin\theta+ib\cos\theta}{a\cos\theta+ib\sin\theta} d\theta\) \(z=a\cos\theta+ib\sin\theta\)を代入。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta+iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

※分子分母に\((a\cos\theta-ib\sin\theta)\)かけて(有理化して)整理した。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+ \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\) 

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)  第一項は0になる(以下示す)

 

「第一項=0」の証明

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)(-\sin t)\cos t}{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} (-dt)\) 

(第二項で\(\theta=2\pi-t\)と変換する)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta-\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin t\cos t}{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} dt\)

 

\(=0\)

 

その2 コーシーの積分公式

\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}=2\pi i\) 

特異点まわりを一周しているから。

 

まとめ

①と②から \(iab\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta}=2\pi i\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta}=\displaystyle\frac{2\pi}{ab}\)

 

問題の積分の値を得られた。

 

 

解答2

三角関数の積分であるので素直に解く(計算量は多い。)

 

\(z=e^{i\theta}\) とおくと、経路は単位円一周になり、

 

\(z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) \(\cdots\) ①

\(z^{-1}=e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) \(\cdots\) ②

 

①+②から \(\cos\theta=\displaystyle\frac{z+z^{-1}}{2}\)

①-②から \(\sin\theta=\displaystyle\frac{z-z^{-1}}{2i}\)

 

また \(\displaystyle\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}=iz\)

 

\(a>b\)の時

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{i}\displaystyle\oint\displaystyle\frac{z}{(a^2-b^2)z^4+2(a^2+b^2)z^2+(a^2-b^2)}dz\)

 

経路内の極は、\(z=\pm\displaystyle\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}}i\) より

 

\(=2\pi i\times \displaystyle\frac{4}{i}\times \biggl[\displaystyle\frac{z}{4(a^2-b^2)z^3+4(a^2+b^2)z}\biggr]\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi}{ab}\)

 

\(a<b\)のとき

上と同様に計算する。

 

\(a=b\)のとき

代入すれば、ただの積分計算になり上と同様の答えが得られる。

 

 

答え

\(\displaystyle\frac{2\pi}{ab}\)

 

 

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