複素積分問題1

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問題

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\)

 

 

解答

楕円経路を取る。 すなわち \(z=x+yi=a\cos\theta+ib\sin\theta\) とする。

 

突然だが、\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}\) を二通りで表す。

 

その1 線積分計算

\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{z'(\theta)}{z(\theta)} d\theta\)  

 

(※ \(\displaystyle\oint f(z) dz=\displaystyle\int_{a}^{b} f(z(\theta))\displaystyle\frac{dz}{d\theta}d\theta\) で\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z}\)と置いた感じ。)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{-a\sin\theta+ib\cos\theta}{a\cos\theta+ib\sin\theta} d\theta\) \(z=a\cos\theta+ib\sin\theta\)を代入。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta+iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

※分子分母に\((a\cos\theta-ib\sin\theta)\)かけて(有理化して)整理した。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+ \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\) 

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{iab}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)  第一項は0になる(以下示す)

 

「第一項=0」の証明

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta+\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)(-\sin t)\cos t}{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} (-dt)\) 

(第二項で\(\theta=2\pi-t\)と変換する)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin\theta\cos\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta} d\theta-\displaystyle\int_{0}^{\pi} \displaystyle\frac{(b^2-a^2)\sin t\cos t}{a^2\cos^2 t+b^2\sin^2 t} dt\)

 

\(=0\)

 

その2 コーシーの積分公式

\(\displaystyle\oint\displaystyle\frac{dz}{z}=2\pi i\) 

特異点まわりを一周しているから。

 

まとめ

①と②から \(iab\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta}=2\pi i\)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{d\theta}{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta}=\displaystyle\frac{2\pi}{ab}\)

 

問題の積分の値を得られた。

 

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