複素積分問題14

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

 

 

解答

\(f(z)=\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+1}\) として下の経路で積分。

 

① 分子を\((\mathrm{Log} z)^3\)にしていることに注意。

※ 後の計算から分かるが、\((\mathrm{Log} z)^3\)の項は相殺されて消えて、\((\mathrm{Log} z)^2\)の項が最高次として残るためです。

 

② 対数関数を多価関数にしないために通常は\(-\pi\leq \theta\leq \pi\)にとることが多いが、今回は\(0\leq\theta\leq 2\pi\)にとる。こうすることで、一価関数となる。

 

ちなみに、この積分路は「keyhole contour(鍵穴積分路)」と呼ばれる。

 

留数定理より以下の等式が導かれる。

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+1}dz\)

 

\(+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+1} dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+1}dz\)

 

\(=2\pi i\times (留数和)\)

 

※左辺第三項は積分路を一周しているので\(\log z=\log x+2\pi i\) となる。

 

左辺第一項と第三項

\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限で

 

\(\displaystyle\int_{r}^{R} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+1}dx+\displaystyle\int_{R}^{r} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+1} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^3}{x^2+1}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x+2\pi i)^3}{x^2+1} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2+12\pi^2\log x+8\pi^3 i}{x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{x^2+1}dx+8\pi^3 i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{x^2+1}+\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{12\pi^2\log x}{x^2+1}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{-6\pi i(\log x)^2}{x^2+1}dx+4\pi^4 i+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx\)

 

※\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{dx}{x^2+1}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) を使っている。

 

左辺第二項と第四項

結果から言うと、\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)極限でともに\(0\)になる。

 

第二項

\(|z|=R\to \infty\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{外円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{外円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=Re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+1}=\displaystyle\frac{Re^{i\theta}(\log R+i\theta)^3}{R^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)

 

第四項

\(|z|=r \to 0\) で \(z f(z)\to 0\)より 

\(\biggl|\displaystyle\int_{内円} f(z) dz\biggr|\leq \displaystyle\int_{内円}|f(z)||dz|=2\pi r |f(z)|=2\pi |zf(z)| \to 0\) 

 

\(z f(z)\to 0\)は\(z=re^{i\theta}\)とおいて考えれば

\(zf(z)=\displaystyle\frac{z(\mathrm{Log} z)^3}{z^2+1}=\displaystyle\frac{re^{i\theta}(\log r+i\theta)^3}{r^2 e^{2i\theta}+1} \to 0\)

 

右辺

極は\(z=\pm i\)で、留数は

 

\(\mathrm{Res}(f(z) , i)=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{2z}\biggr]_{i}=-\displaystyle\frac{\pi^3}{16}\)

 

\(\mathrm{Res}(f(z) , -i)=\biggl[\displaystyle\frac{(\mathrm{Log} z)^3}{2z}\biggr]_{-i}=\displaystyle\frac{27\pi^3}{16}\)

 

\(0\leq\theta\leq 2\pi\)に限ってることに注意する。この結果、右辺(留数和)は

 

\(右辺=2\pi i\biggl(-\displaystyle\frac{\pi^3}{16}+\displaystyle\frac{27\pi^3}{16}\biggr)=\displaystyle\frac{13\pi^4 i}{4}\)

 

まとめ

以上のことをまとめると留数定理の式は以下のように変わる。

 

\(-6\pi i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+1}dx+4\pi^4 i+12\pi^2\displaystyle\int_{0}^{\infty}  \displaystyle\frac{\log x}{x^2+1}dx=\displaystyle\frac{13\pi^4 i}{4}\)

 

虚部を比較すると

\(-6\pi \displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+1}dx+4\pi^4 =\displaystyle\frac{13\pi^4}{4}\)

 

これを計算すると答えは

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+1}dx=\displaystyle\frac{\pi^3}{8}\)

 

答え

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{(\log x)^2}{x^2+1}dx=\displaystyle\frac{\pi^3}{8}\)

 

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