複素積分問題19

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

 

 

解答

突然ではあるが、 \(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)を二通りに表す。

 

その1

\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz=2\pi i\times(留数)\)

 

\(=\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}\)

 

その2

\(z=re^{i\theta}\) とおく。

 

\(\displaystyle\oint \displaystyle\frac{e^z}{z^{n+1}}dz\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\frac{e^{r\cos\theta+ir\sin\theta}}{r^{n+1}e^{(n+1)i\theta}}rie^{i\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta+ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} e^{ir\sin\theta-i n\theta}d\theta\)

 

\(=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)

 

まとめ

\(\displaystyle\frac{2\pi i}{n!}=\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(r\sin\theta- n\theta)d\theta+\displaystyle\frac{i}{r^{n}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} i\sin(r\sin\theta- n\theta)d\theta\)

 

虚部を比較するとして整理すると

 

\(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} e^{r\cos\theta} \cos(n\theta-r\sin\theta)d\theta=\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)

が得られる。

 

答え

\(\displaystyle\frac{2\pi r^n}{n!}\)

 

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