複素積分問題2

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※複素積分の一覧はこちらの後半部分

複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

問題

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx\)

 

積分問題botの100番の解説です。

と似た感じの問題です。解答2はこちらに近い感じで解いてます。

 

解答1

\(f(t)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 (tx)}{x^2}dx\) とおく。 \(f(0)=0\) になる。

 

\(t>0\)のとき

 

\(f'(t)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2x\sin tx\cos tx}{x^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin 2tx}{x}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin k}{k}\cdot 2t\cdot \displaystyle\frac{dk}{2t}\)  ※\(2tx=k\)とした

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin k}{k} dk\)

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ※ディリクレ積分

 

同様にして\(t<0\)のとき \(f'(t)=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) になる。

 

\(f(t)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\pi}{2}t+C & \text{$(t>0)$} \\ -\displaystyle\frac{\pi}{2}t+C & \text{$(t<0)$} \end{cases}\)

 

\(f(0)=0\)で連続より\(C=0\)。

 

よって求める積分は  \(f(1)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

解答2

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2} dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2 x^2} dx\)

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}\) とおく。

 

 

上の経路を取る。留数定理より(\(R\to\infty\)、\(r\to 0\)として

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx+\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz+\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz=0\)

 

 

 

第一項と第三項

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{1-e^{-2ix}}{2 x^2}dx+\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{1-e^{2ix}}{2 x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{2-2\cos 2x}{2x^2} dx\) 

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx\) 

 

第四項

\(z=re^{i\theta}\) とおいて計算する。(\(r\to 0\))

\(\displaystyle\int_{C_{4}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2} dz\)

 

\(=\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{1-(1+2iz+\cdots)}{2 r^2 e^{2i\theta}} ire^{i\theta} d\theta\)  

 

\(=-i\displaystyle\int_{\pi}^{0} \displaystyle\frac{2ire^{i\theta}+\cdots}{2 r e^{i\theta}} d\theta\)  

※分子カッコ内第3項以降はrが2次以上より、\(r\to 0\)で\(0\)に行く。

 

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\pi} d\theta\)

 

\(=-\pi\)

 

第二項

\(z=Re^{i\theta}\) で0になることを示す。

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}} \displaystyle\frac{1-e^{2iz}}{2 z^2}dz\biggr|\)

 

\(\leq \displaystyle\int_{C_{2}}\displaystyle\frac{|1-e^{2iz}|}{2 R^2}|dz|\)

 

\(\leq  \displaystyle\frac{|1-e^{2iz}|}{2 R^2}\cdot \pi R\)

 

\(=0\)  ※\(R\to\infty\)

 

まとめ

以上を留数定理に代入すると

\(2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2} dx-\pi=0\) 

 

答え

\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

 

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